Question

已知數(shù)列{a_n}是公差大于零的等差數(shù)列，數(shù)列{b_n}為等比數(shù)列，且a₁=1，b₁=2，b₂-a₂=1，a₃+b₃=13
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}和{b_n}的通項(xiàng)公式
（Ⅱ）設(shè)c_n=a_nb_n+1，求數(shù)列{

1

cn

}前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,等差數(shù)列的性質(zhì)

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）由已知得：

2q-(1+d)=1 1+2d+2q2=13

，由此能求出數(shù)列{a_n}和{b_n}的通項(xiàng)公式．
（Ⅱ）利用裂項(xiàng)求和法能求出數(shù)列{

1

cn

}前n項(xiàng)和T_n．

解答： （本小題滿分10分）
解：（Ⅰ）設(shè)數(shù)列{a_n}的公差為d（d＞0），數(shù)列{b_n}的公比為q
由已知得：

2q-(1+d)=1 1+2d+2q2=13

，
解得：

d=-10 q=-4

，

d=2 q=2

（3分）
因?yàn)閐＞0，所以d=2，q=2，
∴an=1+2(n-1)=2n-1，bn=2×2n-1=2n
即an=2n-1(n∈N*)，bn=2n(n∈N*)．（6分）
（Ⅱ）Tn=

1

1×3

+

1

3×5

+

1

5×7

+…+

1

(2n-1)(2n+1)

= 1 2 (1- 1 3 )+ 1 2 ( 1 3 - 1 5 )+ 1 2 ( 1 5 - 1 7 )+…+ 1 2 ( 1 2n-1 - 1 2n+1 ) = 1 2 (1- 1 2n+1 )

=

n

2n+1

．（10分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，考查數(shù)列的前n項(xiàng)和的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．