設函數(shù)f(x)=a-2-sin2x+2(a-1)sinxcosx-5cos2x(a∈R,x∈R).

(1)若a=2+1,試說明y=f(x)的圖像可以由y=sinx(x∈R)的圖像經(jīng)過怎樣的平移和伸縮變換得到?

(2)是否存在常數(shù)a使得不等式|f(x)|≤6對任意的x∈R成立?若成立,求出a的取值范圍;若不存在,請說明理由.

答案:
解析:

  f(x)=a-2-+(a-1)sin2x-(1+cos2x)=(a-1)sin2x-2cos2x+a-5

  (1)因為a=2+1,所以

  f(x)=2sin2x-2cos2x+2-4=4sin(2x-)+2-4=4sin[2(x-)]+2-4

  所以由y=sinx圖像上的每一點的橫坐標縮短為原來的(縱坐標不變)得到y(tǒng)=sin2x的圖像,再將所得的圖像上的每一點的縱坐標伸長到原來的4倍(橫坐標不變),得到y(tǒng)=4sin2x的圖像,又向右平移個單位,得到y(tǒng)=4sin[2(x-)]的圖像,最后再向下平移4-2個單位,即能得到f(x)的圖像.

  (2)f(x)=sin(2x-)+a-5,依題意,x∈R時,-6≤f(x)≤6,

所以

  解得1≤a≤,此即所求的a的取值范圍.


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