如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是菱形，∠BAD=60°，AB=2，PA=1，PA⊥平面ABCD，E、F分別是AB、PD的中點．
（Ⅰ）求證：EF∥平面PBC；
（Ⅱ）求平面PED與平面PBC所成的二面角（銳角）的余弦值．
考點：直線與平面平行的判定,二面角的平面角及求法
專題：空間位置關(guān)系與距離
分析：（Ⅰ）證明：過E作EG∥BC交CD與G，則G為CD的中點，連接FG，因為F為PD的中點，所以FG∥PC，通過面面平行的判定定理和性質(zhì)可證；
（II）建立如圖所示的空間直角坐標系A(chǔ)xyz，通過平面的法向量的夾角求平面的夾角的余弦值．
解答： （Ⅰ）證明：過E作EG∥BC交CD與G，則G為CD的中點，連接FG，因為F為PD的中點，所以FG∥PC，
所以平面EFG∥平面PBC，
EF?平面EFG，
所以EF∥平面PBC．
（II）解：建立如圖所示的空間直角坐標系，

在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是菱形，∠BAD=60°，AB=2，PA=1，PA⊥平面ABCD，E、F分別是AB、PD的中點．
所以A（0，0，0），B（1，
3
，0），D（-1，
3
，0），C（0，2
3
，0），E（
1
2
，
3
2
，0），P（0，0，1）
所以
EP
=（-
1
2
，-
3
2
，1），
DE
=（
3
2
，-
3
2
，0），
CB
=（1，-
3
，0），
BP
=（-1，-
3
，1），
平面PDE的一個法向量為
n
=（x，y，z），平面PBC的一個法向量為
m
=（a，b，c）…（6分）
則
n
•
EP
=0
n
•
DE
=0
，即
1
2
x+
3
2
y-z=0
3
2
x-
3
2
y=0
，取x=1，則
n
=（1，
3
，2）；
m
•
BP
=0
m
•
CB
=0
即
a+
3
b-c=0
a-
3
b=0
取b=1，則
m
=（
3
，1，2
3
），
所以
n
•
m
=6
3
，
cos＜
n
，
m
＞=
n
•
m
|
n
||
m
|
=
6
3
8
2
=
3
6
8
，
所以平面PED與平面PBC所成的二面角（銳角）的余弦值
3
6
8
．
點評：本題考查線面平行的證明，考查二面角的余弦值的求法，解題時要認真審題，適當?shù)慕⒆鴺讼�，注意向量法的合理運用．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=
lnx
x
，經(jīng)過點（0，-1）的直線l和函數(shù)f（x）相切，求直線l方程．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知數(shù)列{an}中，a1=1，a2=3，an=3an-1-2an-2（n≥3）．
（1）求a3的值；
（2）證明：數(shù)列{an-an-1}（n≥2）是等比數(shù)列；
（3）求數(shù)列{an}的通項公式．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

m，n表示直線，α，β，γ表示平面，給出下列三個命題：
（1）若α∩β=m，n?α，n⊥m，則n⊥β
（2）若α⊥β，α∩γ=m，β∩γ=n，則n⊥m
（3）若m⊥α，n⊥β，m⊥n，則α⊥β
其中正確的命題為（　�。�
A、（1）（2）
B、（3）
C、（2）（3）
D、（1）（2）（3）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設(shè)函數(shù)f（x）=
1
a-1
(x-1)，(x≥a)
1
a-2
(x-2)，(x＜a)
．
（1）若a=
3
2
，則f（x）的最小值是
 
；
（2）已知存在t1，t2使得f（t1）=
1
2
，f（t2）=
3
2
，則t1-t2的取值范圍是
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓C：
x2
2
+y2=1的右焦點為F，右準線為l，點A∈l，線段AF交C于點B，若
FA
=3
FB
，則
AF
=（　�。�
A、
2
B、2
C、
3
D、3

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

若點P（x，y）為橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）上任意一點，F(xiàn)1、F2是它的左、右焦點，若∠F1PF2=θ，求證：S△PF1F2=b2•tan
θ
2
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

若橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左、右焦點分別為F1、F2，拋物線y2=2bx的焦點為F．若
F1F
=3
FF2
，則此橢圓的離心率為
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=|x2-ax-b|（x∈R，b≠0），給出以下三個條件：
（1）存在x0∈R，使得f（-x0）≠f（x0）；
（2）f（3）=f（0）成立；
（3）f（x）在區(qū)間[-a，+∞]上是增函數(shù)．若f（x）同時滿足條件
 
和
 
（填入兩個條件的編號），則f（x）的一個可能的解析式為f（x）=
 
．

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