【題目】如圖,某小區(qū)中央廣場(chǎng)由兩部分組成,一部分是邊長(zhǎng)為的正方形,另一部分是以為直徑的半圓,其圓心為.規(guī)劃修建的條直道, , 將廣場(chǎng)分割為個(gè)區(qū)域:Ⅰ、Ⅲ、Ⅴ為綠化區(qū)域(圖中陰影部分),Ⅱ、Ⅳ、Ⅵ為休閑區(qū)域,其中點(diǎn)在半圓弧上, 分別與, 相交于點(diǎn), .(道路寬度忽略不計(jì))
(1)若經(jīng)過(guò)圓心,求點(diǎn)到的距離;
(2)設(shè), .
①試用表示的長(zhǎng)度;
②當(dāng)為何值時(shí),綠化區(qū)域面積之和最大.
【答案】(1)(2)①最小值為②當(dāng)時(shí),綠化區(qū)域Ⅰ、Ⅲ、Ⅴ的面積之和最大
【解析】試題分析:(1)先建立直角坐標(biāo)系,聯(lián)立直線OB方程與圓方程解得P點(diǎn)縱坐標(biāo),即得點(diǎn)到的距離;(2)①先求點(diǎn)到的距離為,再根據(jù)三角形相似得的長(zhǎng)度;②根據(jù)三角形面積公式求三個(gè)三角形面積,再用總面積相減得綠化區(qū)域面積,最后利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最值
試題解析:以所在直線為軸,以線段的中垂線為軸建立平面直角坐標(biāo)系.
(1)直線的方程為,
半圓的方程為 ,
由得.
所以,點(diǎn)到的距離為.
(2)①由題意,得.
直線的方程為
,
令,得
.
直線的方程為,
令,得 .
所以, 的長(zhǎng)度為
, .
②區(qū)域Ⅳ、Ⅵ的面積之和為
,
區(qū)域Ⅱ的面積為
,
所以 .
設(shè),則,
.
.
當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí)“”成立.
所以,休閑區(qū)域Ⅱ、Ⅳ、Ⅵ的面積的最小值為.
答:當(dāng)時(shí),綠化區(qū)域Ⅰ、Ⅲ、Ⅴ的面積之和最大.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè)橢圓的離心率為,左頂點(diǎn)到直線的距離為.
(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)設(shè)直線與橢圓C相交于A、B兩點(diǎn),若以AB為直徑的圓經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O,試探究:點(diǎn)O到直線AB的距離是否為定值?若是,求出這個(gè)定值;否則,請(qǐng)說(shuō)明理由;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的條件下,試求△AOB面積S的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中,將底面為直角三角形且側(cè)棱垂直于底面的三棱柱稱(chēng)之為塹堵;將底面為矩形且一側(cè)棱垂直于底面的四棱錐稱(chēng)之為陽(yáng)馬;將四個(gè)面均為直角三角形的四面體稱(chēng)之為鱉臑[biē nào].某學(xué)?茖W(xué)小組為了節(jié)約材料,擬依托校園內(nèi)垂直的兩面墻和地面搭建一個(gè)塹堵形的封閉的實(shí)驗(yàn)室,是邊長(zhǎng)為2的正方形.
(1)若,在上,四面體是否為鱉臑,若是,寫(xiě)出其每個(gè)面的直角:若不是,請(qǐng)說(shuō)明理由;
(2)當(dāng)陽(yáng)馬的體積最大時(shí),求點(diǎn)到平面的距離.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,底面半徑為,母線長(zhǎng)為的圓柱的軸截面是四邊形,線段上的兩動(dòng)點(diǎn), 滿足.點(diǎn)在底面圓上,且, 為線段的中點(diǎn).
(Ⅰ)求證: 平面;
(Ⅱ)四棱錐的體積是否為定值,若是,請(qǐng)求出該定值;若不是,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=(2x-x2)ex-1.
(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若對(duì)任意x≥1,都有f(x)-mx-1+m≤0恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知f(x)是定義在R上的函數(shù),f′(x)是f(x)的導(dǎo)函數(shù),且滿足f′(x)+f(x)<0,設(shè)g(x)=exf(x),若不等式g(1+t2)<g(mt)對(duì)于任意的實(shí)數(shù)t恒成立,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是( )
A. (﹣∞,0)∪(4,+∞) B. (0,1)
C. (﹣∞,﹣2)∪(2,+∞) D. (﹣2,2)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知,是兩條不同直線,,是兩個(gè)不同平面,則下列命題正確的是 ( )
A. 若,垂直于同一平面,則與平行
B. 若,則
C. 若,不平行,則在內(nèi)不存在與平行的直線
D. 若,不平行,則與不可能垂直于同一平面
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,已知橢圓的離心率為,左焦點(diǎn),直線與橢圓交于兩點(diǎn), 為橢圓上異于的點(diǎn).
(1)求橢圓的方程;
(2)若,以為直徑的圓過(guò)點(diǎn),求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(3)設(shè)直線與軸分別交于,證明: 為定值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】先后2次拋擲一次骰子,將得到的點(diǎn)數(shù)分別記為.
(1)求直線與圓相切的概率;
(2)將,4的值分別作為三條線段的長(zhǎng),求這三條線段能?chē)傻妊切危ê冗吶切危┑母怕剩?/span>
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