Question

19．將編號為1，2，3，4的四張同樣材質(zhì)的卡片，隨機放入編碼分別為1，2，3，4的四個小盒中，每盒僅放一張卡片，若第k號卡片恰好落入第k號小盒中，則稱其為一個匹對，用ξ表示匹對的個數(shù)．
（1）求第2號卡片恰好落入第2號小盒內(nèi)的概率；
（2）求匹對數(shù)ξ的分布列和數(shù)學期望Eξ．

Answer 1

分析 （1）設(shè)A為“第2張卡片恰好落入第2號卡片”，由此利用排列及等可能事件概率計算公式能求出第2號卡片恰好落入第2號小盒內(nèi)的概率．
（2）ξ的可能取值為0，1，2，4，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出ξ的分布列和Eξ．

解答 解：（1）設(shè)A為“第2張卡片恰好落入第2號卡片”，
則P（A）=$\frac{{A}_{3}^{3}}{{A}_{4}^{4}}$=$\frac{1}{4}$．
（2）ξ的可能取值為0，1，2，4，
則P（ ξ=0）=$\frac{9}{{A}_{4}^{4}}$=$\frac{3}{8}$，
P（ξ=1）=$\frac{{C}_{4}^{1}×2}{{A}_{4}^{4}}$=$\frac{1}{3}$，
P（ξ=2）=$\frac{{C}_{4}^{2}}{{A}_{4}^{4}}$=$\frac{1}{4}$，
P（ξ=4）=$\frac{1}{{A}_{4}^{4}}=\frac{1}{24}$，∴ξ的分布列為：

ξ	0	1	2	4
P	$\frac{3}{8}$	$\frac{1}{3}$	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{24}$

Eξ=$0×\frac{3}{8}+1×\frac{1}{3}+2×\frac{1}{4}+4×\frac{1}{24}$=1．

點評 本題考查離散型隨機變量的方差的求法，考查離散型隨機變量的分布列、數(shù)學期望的求法等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查函數(shù)與方程思想，是中檔題．