Question

已知定義在(－1，1)上的函數(shù)f(x)滿足f＝1，且對(duì)x、y∈(－1，1)時(shí)，有f(x)－f(y)＝．

(1)判斷f(x)在(－1，1)上的奇偶性，并證明之；

(2)令x₁＝，x_n+1＝，求數(shù)列{f(x_n)}的通項(xiàng)公式；

(3)設(shè)T_n為數(shù)列{}的前n項(xiàng)和，問(wèn)是否存在正整數(shù)m，使得對(duì)任意的n∈N*，有T_n＜成立？若存在，求出m的最小值；若不存在，則說(shuō)明理由．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)令x＝y＝0，得f(0)＝0． 　　又當(dāng)x＝0時(shí)，f(0)－f(y)＝f(－y)，即f(－y)＝－f(y)． 　　∴對(duì)任意x∈(－1，1)時(shí)，都有f(－x)＝－f(x)．∴f(x)為奇函數(shù)． 　　(2)∵{xn}滿足x1＝，xn+1＝， 　　∴0＜xn＜1．∴f(xn+1)＝f． 　　∵f(x)在(－1，1)上是奇函數(shù)，∴f(－xn)＝－f(xn)，∴f(xn+1)＝2f(xn)，即．∵{f(xn)}是以f(x1)＝f＝1為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列， 　　∴f(xn)＝2n－1． 　　(3)Tn＝． 　　假設(shè)存在正整數(shù)m，使得對(duì)任意的n∈N*，有Tn＜成立，即2－對(duì)n∈N*恒成立． 　　只需≥2，即m≥10，故存在正整數(shù)m，使得對(duì)n∈N*，有Tn＜成立． 　　此時(shí)m的最小值為10．