Question

10．?dāng)?shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n=33n-n²．
（1）求{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）問(wèn){a_n}的前多少項(xiàng)和最大；
（3）設(shè)b_n=|a_n|，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n′．

Answer 1

分析 （1）利用遞推關(guān)系：當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1，當(dāng)n=1時(shí)，a₁=S₁，即可得出．
（2）法一：令a_n≥0，得34-2n≥0，解出n即可得出．
法二：由y=-x²+33x的對(duì)稱(chēng)軸為$x=\frac{33}{2}$．利用二次函數(shù)的單調(diào)性即可得出．
（3）由（2）知，當(dāng)n≤17時(shí)，a_n≥0；當(dāng)n≥18時(shí)，a_n＜0．進(jìn)而得出．

解答 解：（1）當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=34-2n，
又當(dāng)n=1時(shí)，a₁=S₁=32=34-2×1，滿(mǎn)足a_n=34-2n．
故{a_n}的通項(xiàng)公式為a_n=34-2n．
（2）法一：令a_n≥0，得34-2n≥0，所以n≤17，
故數(shù)列{a_n}的前17項(xiàng)大于或等于零．
又a₁₇=0，故數(shù)列{a_n}的前1項(xiàng)或前17項(xiàng)的和最大．
法二：由y=-x²+33x的對(duì)稱(chēng)軸為$x=\frac{33}{2}$．
距離$\frac{33}{2}$最近的整數(shù)為16，17．
由${S_n}=-{n^2}+33n$的圖象可知：
當(dāng)n≤17時(shí)，a_n≥0，
當(dāng)n≥18時(shí)，a_n＜0，
故數(shù)列{a_n}的前16項(xiàng)或前17項(xiàng)的和最大．
（3）由（2）知，當(dāng)n≤17時(shí)，a_n≥0；
當(dāng)n≥18時(shí)，a_n＜0，
所以當(dāng)n≤17時(shí)，$S_n^'={b_1}+{b_2}+…+{b_n}$=|a₁|+|a₂|+…+|a_n|=${a_1}+{a_2}+…+{a_n}={S_n}=33n-{n^2}$．
當(dāng)n≥18時(shí)，$S_n^'=|{a_1}|+|{a_2}|+…+|{a_{17}}|+|{a_{18}}|+…+|{a_n}|$=a₁+a₂+…+a₁₇-（a₁₈+a₁₉+…+a_n）=S₁₇-（S_n-S₁₇）=2S₁₇-S_n=n²-33n+544．
故$S_n^'=\left\{\begin{array}{l}33n-{n^2}，n≤17\\{n^2}-33n+544，n≥18\end{array}\right.$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式、絕對(duì)值數(shù)列求和、數(shù)列的單調(diào)性、二次函數(shù)的單調(diào)性，考查了分類(lèi)討論方法、推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．