Question

已知正四棱錐的底面邊長(zhǎng)為2

3

，高為3，則側(cè)面與底面所成的二面角等于

π

3

．

Answer 1

分析：欲求側(cè)面與底面所成的二面角的大小，先找到二面角的平面角，根據(jù)二面角的平面角的定義，在二面角的棱上取一點(diǎn)，過這點(diǎn)在二面角的兩個(gè)面內(nèi)分別作與棱垂直的射線，這兩條射線所成角即二面角的平面角，在正四棱錐中，利用三垂線定理可知，側(cè)面的斜高，底面的弦心距所成角恰好為所求二面角的平面角，再放入直角三角形中，即可解出該角．

解答：解：如圖，過正四棱錐的頂點(diǎn)S向底面作垂線，垂足為O，
過O向底邊BC作垂線，垂足為E，連接SE，
根據(jù)三垂線定理，SE⊥BC
∴∠SEO為側(cè)面SBC與底面ABCD所成二面角的平面角
在RT△SOD中，SO=3，OE=

3

，∴tan∠SEO=

|SO|

|OD|

=

3

3

=

3

∴∠SEO=

π

3

，即側(cè)面與底面所成的二面角等于

π

3

故答案為

π

3

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了二面角的大小，解題關(guān)鍵再與找到二面角的平面角．