Question

已知函數(shù)f（x）=ax²+bx+c，（a，b，c∈R且a≠0）
（1）當x=1時有最大值1，若x∈[m，n]，（0＜m＜n）時，函數(shù)f（x）的值域為[

1

n

，

1

m

]，證明：

f(m)

f(n)

=

n

m

（2）若b=4，c=-2時，對于給定正實數(shù)a有一個最小負數(shù)g（a），使得x∈[g（a），0]時，|f（x）|≤4恒成立，問a為何值時，g（a）最小，并求出這個最小值．

Answer 1

分析：（1）由x=1時有最大值1，及函數(shù)的值域，可知m≥1，從而[m，n]?[1，+∞）因此f（m）=

1

m

，f(n)=

1

n

，故可得證．
（2）f（x）=ax²+4x-2，顯然f（0）=-2，當0＜a＜2時，g（a）∈（-

2

a

，0），且f（g（a））=-4
令ax²+4x-2=-4，解得x=

-2± 4-2a

a

，取g(a)=

-2+ 4-2a

a

=

-2

2+ 4-2a

，從而有g(shù)（a）＞-12．
同理當a≥2時，g（a）≥-3，故可得結(jié)論．

解答：解：（1）由條件得：a＜0，

1

m

≤1，即m≥1，
∴[m，n]?[1，+∞）∴f（m）=

1

m

，f(n)=

1

n

，
∴

f(m)

f(n)

=

n

m

（2）f（x）=a（x+

2

a

，顯然f（0）=-2，
對稱軸x=-

2

a

＜01，當-2-

4

a

＜-4
，即0＜a＜2時，g（a）∈（-

2

a

，0），且f（g（a））=-4
令ax²+4x-2=-4，解得x=

-2± 4-2a

a

，取g(a)=

-2+ 4-2a

a

=

-2

2+ 4-2a

∵0＜a＜2∴g（a）＞-12，當-2-

4

a

≥-4，即a≥2，g（a）＜-

2

a

，且f（g（a））=4令ax²+4x-2=4，
解得x=

-2± 4+6a

a

，取g（a）=

-2- 4+6a

a

=

-6

4+6a -2

∵a≥2，∴g（a）≥-3，當且僅當a=2時取等號．
綜上，當a=2時，g（a）最小值為-3

點評：本題的（1）問利用函數(shù)的值域及最大值，避免了討論，（2）應(yīng)注意合理的分類，要使g（a）最小，即那個使|f（x）|=4的x最小，越遠離原點的負值．