Question

【題目】設函數(shù).

（1）證明:，；

（2）令

①求的最大值；

②如果，且，證明：.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）①的最大值為；②證明見解析．

【解析】

（1）令，則，利用導數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)性與最值，由此可證明結(jié)論；

（2）由題意得，，

①利用導數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)性，從而得到函數(shù)的極值與最值；

②由題意不妨設，又，可得，令，，利用導數(shù)可得函數(shù)在上單調(diào)遞增，從而可推出，結(jié)合條件可得，易得，從而借助函數(shù)在上單調(diào)遞增即可證明．

（1）證明：令，則，

由得，由得，

∴函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

∴函數(shù)在處取得極大值，也是最大值，

∴，

即，；

（2）解：，，

①由得，由得，

∴函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

∴函數(shù)在處取得極大值，也是最大值，

∴的最大值；

②由，不妨設，又，

∵當時，，且，

∴，

令，，

則，

∵，

∴，，

∴，

∴函數(shù)在上單調(diào)遞增，

又，

∴當時，，

即，則，

又，則，

∵，∴，即，

而函數(shù)在上單調(diào)遞增，

∴，

∴．