Question

【題目】已知函數(shù).

（1）證明：函數(shù)在其定義域上是單調(diào)遞增函數(shù).

（2）設(shè)，當時，不等式恒成立，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）

【解析】

（1）先對函數(shù)求導，得到，令，再由導數(shù)方法研究單調(diào)性，求出最小值即可；

（2）先將當時，不等式恒成立，化為恒成立，令，，用導數(shù)方法研究其單調(diào)性，再記，得到單調(diào)性，進而可得出結(jié)果.

（1）證明：因為，，所以.

令，則.

當時，；當時，，

則在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增.

故，

從而在上恒成立，

即在上單調(diào)遞增.

（2）解：當時，不等式恒成立等價于當時，不等式恒成立，即當時，恒成立.

記，，則，.

因為當時，，所以在恒成立，

即在上單調(diào)遞減.

因為當時，，所以在恒成立，

即在上單調(diào)遞減.

記，因為，所以在上單調(diào)遞減，所以.

因為在上恒成立，所以，即.

又，故的取值范圍為.