Question

17．已知橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$$+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞1），F(xiàn)₁，F(xiàn)₂為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，且F₁，F(xiàn)₂到直線$\frac{x}{a}$$+\frac{y}$=1的距離之和為$\sqrt{3}$b，則其離心率e=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．

Answer 1

分析 直線$\frac{x}{a}$$+\frac{y}$=1可化為：bx+ay-ab=0，橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$$+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞1）焦點(diǎn)在x軸上，焦點(diǎn)F₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0），根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式求出兩焦點(diǎn)到直線的距離和，得出a=$\sqrt{3}$b，從而求離心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1-\frac{^{2}}{{a}^{2}}}$=$\sqrt{1-\frac{1}{3}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．

解答 解：直線$\frac{x}{a}$$+\frac{y}$=1可化為：bx+ay-ab=0，
由橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$$+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞1）焦點(diǎn)在x軸上，焦點(diǎn)F₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0），
∴F₁，F(xiàn)₂到直線 $\frac{x}{a}$$+\frac{y}$=1=1的距離之和為d=$\frac{丨-bc-ab丨+丨bc-ab丨}{\sqrt{{a}^{2}+^{2}}}$=$\sqrt{3}$b，
化簡(jiǎn)得：a=$\sqrt{3}$b，
∴橢圓的離心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1-\frac{^{2}}{{a}^{2}}}$=$\sqrt{1-\frac{1}{3}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
故答案為：$\frac{\sqrt{6}}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及離心率的求法，點(diǎn)到直線的距離公式的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．