【題目】已知點,是橢圓的左,右焦點,橢圓上一點滿足軸,,.

1)求橢圓的標準方程;

2)過的直線交橢圓兩點,當的內切圓面積最大時,求直線的方程.

【答案】1;(2.

【解析】

1)由軸,結合勾股定理可得,從而可求出,,則可知,結合,可求出,即可求出橢圓的標準方程.

2)設,,,與橢圓方程聯(lián)立,可得,,從而可用 表示出,用內切圓半徑表示出,即可知,結合基本不等式,可求出當半徑取最大時, 的值,從而可求出直線的方程.

解:(1)因為軸,所以,則,

,解得,,

由橢圓的定義知, ,即,

橢圓的標準方程為.

2)要使的內切圓的面積最大,需且僅需其的內切圓的半徑最大.

因為,,設,易知,直線l的斜率不為0,

設直線,聯(lián)立,整理得,

;

所以

,

,

,即,

當且僅當,即時等號成立,此時內切圓半徑取最大值為,

直線l的方程為.

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