【題目】已知函數(shù), .

(Ⅰ)若,求在點(diǎn)處的切線方程;

(Ⅱ)討論函數(shù)的單調(diào)性;

(Ⅲ)若存在兩個(gè)極值點(diǎn),求的最小值.

【答案】(1)(2)見解析(3)

【解析】試題分析:(Ⅰ)求 ,代入切線方程 ;(Ⅱ)求函數(shù)的導(dǎo)數(shù) ,分,和 討論,在 時(shí)再分 兩種情況討論函數(shù)的單調(diào)性;(Ⅲ)根據(jù)(Ⅱ)的結(jié)果計(jì)算 ,設(shè) ,轉(zhuǎn)化為的最小值,利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)在區(qū)間的最小值.

試題解析:解:(Ⅰ)時(shí),

所以 ,

所以在點(diǎn)處的切線方程為

(Ⅱ)

的對(duì)稱軸為

當(dāng)時(shí),方程無解,

恒成立,所以單增

當(dāng)時(shí),方程有相等的實(shí)數(shù)解,

恒成立,所以單增

當(dāng)時(shí),方程有解,

解得

當(dāng)時(shí), ,解不等式

所以單增,在單減

當(dāng)時(shí), ,解不等式

所以單增,在單減 ,在單增,

綜上所得:,單調(diào)遞減,單調(diào)遞增;

,單調(diào)遞增,單調(diào)遞減,

單調(diào)遞增;,單調(diào)遞增

(Ⅲ)由(Ⅰ)可知當(dāng)時(shí)函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn),為方程

的兩個(gè)根, ,

,則問題轉(zhuǎn)化為的最值.

又∵

,

所以,所以當(dāng)時(shí)最小

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