Question

使得關于x的不等式a^x≥x≥log_ax（0＜a≠1）在區(qū)間（0，+∞）上恒成立的正實數(shù)a的取值范圍是

．

Answer 1

分析：分a＞1，0＜a＜1兩種情況討論，由題意可得y=a^x與y=log_ax互為反函數(shù)，故問題等價于a^x≥x（0＜a≠1）在區(qū)間（0，+∞）上恒成立，利用導數(shù)進行解決

解答：解：當a＞1，由題意可得y=a^x與y=log_ax互為反函數(shù)，故問題等價于a^x≥x（0＜a≠1）在區(qū)間（0，+∞）上恒成立
構造函數(shù)f（x）=a^x-x，則f′（x）=a^xlna-1=0，得x=loga

1

lna

，且此時函數(shù)f（x）取到最小值，故有aloga

1

lna

-loga

1

lna

≥0，解得a≥e

1

e

當0＜a＜1時，不符合條件，舍去，
故答案為a≥e

1

e

．

點評：本題考查恒成立問題關鍵是將問題等價轉化，從而利用導數(shù)求函數(shù)的最值求出參數(shù)的范圍．