Question

8．如圖，在三棱臺(tái)ABO-A₁B₁O₁中，側(cè)面AOO₁A₁與側(cè)面OBB₁O₁是全等的直角梯形，且OO₁⊥OB，OO₁⊥OA，平面AOO₁A₁⊥平面OBB₁O₁，OB=3，O₁B₁=1，OO₁=$\sqrt{3}$．
（1）證明：AB₁⊥BO₁；
（2）求直線(xiàn)AO₁與平面AOB₁所成的角的正切值；
（3）求二面角O-AB₁-O₁的余弦值．

Answer 1

分析 （1）推導(dǎo)出OA⊥OB，OA⊥BO₁，OB₁⊥BO₁，OA⊥BO₁，從而B(niǎo)O₁⊥平面AOB₁，由此能證明AB₁⊥BO₁．
（2）以O(shè)為原點(diǎn)，OA、OB、OO₁所在直線(xiàn)分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出直線(xiàn)AO₁與平面AOB₁所成的角的正切值．
（3）求出平面OA B₁的一個(gè)法向量和平面O₁A B₁的一個(gè)法向量，利用向量法能求出二面角O-AB₁-O₁的余弦值．

解答 （本小題滿(mǎn)分13分）
證明：（1）由題設(shè)知OA⊥OO₁，且平面AOO₁A₁⊥平面OBB₁O₁，
平面AOO₁A₁∩平面OBB₁O₁=OO₁，
則OA⊥平面OBB₁O₁，所以O(shè)A⊥OB，OA⊥BO₁，
又因?yàn)?O{O_1}=\sqrt{3}$．O₁B₁=1，OB=3，
所以∠OO₁B=60°，∠O₁OB₁=30°，
從而OB₁⊥BO₁，又因?yàn)镺A⊥BO₁，OB₁∩OA=O，
故BO₁⊥平面AOB₁，又AB₁?平面AOB₁，故AB₁⊥BO₁．…（4分）
解：（2）以O(shè)為原點(diǎn)，OA、OB、OO₁所在直線(xiàn)分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，
如圖，則A（3，0，0），B（0，3，0），B₁（0，1，$\sqrt{3}$），O₁（0，0，$\sqrt{3}$）．
由（1）知BO₁⊥平面OA B₁，從而$\overrightarrow{B{O_1}}$是平面OA B₁的一個(gè)法向量．
$\overrightarrow{B{O_1}}=（0，-3，\sqrt{3}）$，$\overrightarrow{A{O_1}}=（-3，0，\sqrt{3}）$，
設(shè)直線(xiàn)AO₁與平面AOB₁所成的角為α，
$sinα=|{cos＜\overrightarrow{A{O_1}}，\overrightarrow{B{O_1}}＞}|=\frac{3}{{2\sqrt{3}•2\sqrt{3}}}=\frac{1}{4}$．cosα=$\sqrt{1-（\frac{1}{4}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{15}}{4}$，
tanα=$\frac{sinα}{cosα}$=$\frac{\sqrt{15}}{15}$．
∴直線(xiàn)AO₁與平面AOB₁所成的角的正切值為$\frac{\sqrt{15}}{15}$．…（8分）
（3）由（II）知$\overrightarrow{B{O_1}}$是平面OA B₁的一個(gè)法向量．且$\overrightarrow{B{O_1}}=（0，-3，\sqrt{3}）$，
設(shè)$\overrightarrow n=（x，y，z）$是平面O₁A B₁的一個(gè)法向量，
由$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow n•\overrightarrow{A{B_1}}=0\\ \overrightarrow n•\overrightarrow{{O_1}{B_1}}=0\end{array}\right.⇒\left\{\begin{array}{l}-3x+y+\sqrt{3}z=0\\ y=0.\end{array}\right.，取z=\sqrt{3}$，得$\overrightarrow n=（1，0，\sqrt{3}）$．
設(shè)二面角O-AB₁-O₁的大小為，
則cosθ=cos＜，$\overrightarrow{B{O_1}}$＞=
即二面角O-AB₁-O₁的余弦值是$\frac{{\sqrt{3}}}{4}$．…（13分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查異面直線(xiàn)垂直的證明，考查線(xiàn)面角的正切值的求法，考查二面角的余弦值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．