【題目】已知函數(shù), 為自然對數(shù)的底數(shù), .
(1)試討論函數(shù)的單調(diào)性;
(2)當(dāng)時, 恒成立,求實數(shù)的取值范圍.
【答案】(1) 當(dāng)時, 在上單調(diào)遞增;當(dāng)時, 在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減.
(2) .
【解析】試題分析:(1)對函數(shù)求導(dǎo),關(guān)注定義域,對參數(shù) a進行討論,得出函數(shù)的單調(diào)性;(2)解決恒成立的最基本方法就是分離參數(shù),化為對時恒成立.設(shè)右邊為函數(shù)g(x),通過兩次求導(dǎo)研究函數(shù)g(x)的單調(diào)性和最大值,最后利用極值原理得出a的范圍.
試題解析:
(1)的定義域為, .
若時,則,∴在上單調(diào)遞增;
若時,則由,∴.
當(dāng)時, ,∴在上單調(diào)遞增;
當(dāng)時, ,∴在上單調(diào)遞減.
綜上所述,當(dāng)時, 在上單調(diào)遞增;
當(dāng)時, 在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減.
(2)由題意得: 對時恒成立,
∴對時恒成立.
令,( ),
∴.
令,
∴對時恒成立,
∴在上單調(diào)遞減,
∵,
∴當(dāng)時, ,∴, 在上單調(diào)遞增;
當(dāng)時, ,∴, 在上單調(diào)遞減.
∴在處取得最大值,
∴的取值范圍是.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐中,底面為菱形, 平面, , , , 分別是, 的中點.
(1)證明: ;
(2)設(shè)為線段上的動點,若線段長的最小值為,求二面角的余弦值.
【答案】(1)見解析;(2)
【解析】試題分析:(1)證明線線垂直則需證明線面垂直,根據(jù)題意易得,然后根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得,又,因此得平面,從而得證(2)先找到EH什么時候最短,顯然當(dāng)線段長的最小時, ,在中, , , ,∴,由中, , ,∴.然后建立空間直角坐標(biāo)系,寫出兩個面法向量再根據(jù)向量的夾角公式即可得余弦值
解析:(1)證明:∵四邊形為菱形, ,
∴為正三角形.又為的中點,∴.
又,因此.
∵平面, 平面,∴.
而平面, 平面且,
∴平面.又平面,∴.
(2)如圖, 為上任意一點,連接, .
當(dāng)線段長的最小時, ,由(1)知,
∴平面, 平面,故.
在中, , , ,
∴,
由中, , ,∴.
由(1)知, , 兩兩垂直,以為坐標(biāo)原點,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,又, 分別是, 的中點,
可得, , , ,
, , ,
所以, .
設(shè)平面的一法向量為,
則因此,
取,則,
因為, , ,所以平面,
故為平面的一法向量.又,
所以 .
易得二面角為銳角,故所求二面角的余弦值為.
【題型】解答題
【結(jié)束】
20
【題目】【2018湖北七市(州)教研協(xié)作體3月高三聯(lián)考】已知橢圓: 的左頂點為,上頂點為,直線與直線垂直,垂足為點,且點是線段的中點.
(I)求橢圓的方程;
(II)如圖,若直線: 與橢圓交于, 兩點,點在橢圓上,且四邊形為平行四邊形,求證:四邊形的面積為定值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】對于下列四個命題:
p1:x0∈(0,+∞),;
p2:x0∈(0,1),lox0>lox0;
p3:x∈(0,+∞),<lox;
p4:x∈<lox.
其中的真命題是( )
A. p1,p3 B. p1,p4
C. p2,p3 D. p2,p4
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程
在直角坐標(biāo)系中,以為極點, 軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線的方程是,將向上平移2個單位得到曲線.
(1)求曲線的極坐標(biāo)方程;
(2)直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),判斷直線與曲線的位置關(guān)系.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)(其中是自然對數(shù)的底數(shù))
(1)若,當(dāng)時,試比較與2的大。
(2)若函數(shù)有兩個極值點,求的取值范圍,并證明:
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某市民用水?dāng)M實行階梯水價,每人用水量中不超過立方米的部分按4元/立方米收費,超出立方米的部分按10元/立方米收費,從該市隨機調(diào)查了10000位居民,獲得了他們某月的用水量數(shù)據(jù),整理得到如下頻率分布直方圖:
(1)如果為整數(shù),那么根據(jù)此次調(diào)查,為使80%以上居民在該月的用水價格為4元/立方米, 至少定為多少?
(2)假設(shè)同組中的每個數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的右端點值代替,當(dāng)時,估計該市居民該月的人均水費.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知數(shù)列{an}的各項均為正數(shù),Sn是數(shù)列{an}的前n項和,且4Sn=an2+2an﹣3.
(1)求數(shù)列{an}的通項公式;
(2)已知bn=2n,求Tn=a1b1+a2b2+…+anbn的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】隨著經(jīng)濟的發(fā)展,某城市的市民收入逐年增長,表1是該城市某銀行連續(xù)五年的儲蓄存款額(年底余額):
表1
年份x | 2011 | 2012 | 2013 | 2014 | 2015 |
儲蓄存款額y(千億元) | 5 | 6 | 7 | 8 | 10 |
為了研究計算的方便,工作人員將表1的數(shù)據(jù)進行了處理,令t=x-2 010,z=y-5,得到表2:
表2
時間代號t | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
z | 0 | 1 | 2 | 3 | 5 |
(1)z關(guān)于t的線性回歸方程是________;y關(guān)于x的線性回歸方程是________;
(2)用所求回歸方程預(yù)測到2020年年底,該銀行儲蓄存款額可達________千億元.
(附:線性回歸方程=x+,其中=,=-)
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