Question

6．如圖，A，B是圓O上兩點，延長AB至點C，滿足AB=2BC=2，過C作直線CD與圓O相切于點D，∠ADB的平分線交AB于點E．
（1）證明：CD=CE；
（2）求$\frac{AD}{BD}$的值．

Answer 1

分析 （1）利用弦切角定理，角平分線的性質(zhì)，即可證明：CD=CE；
（2）證明△CDB∽△CAD，即可求$\frac{AD}{BD}$的值．

解答 （1）證明：∵CD是圓O的切線，
∴∠CDB=∠DAB，
∵∠ADB的平分線交AB于點E，
∴∠EDA=∠EDB，
∵∠CED=∠DAE+∠EDA，∠EDC=∠EDB+∠BDC，
∴∠CED=∠EDC，
∴CD=CE；
（2）解：∵CD是圓O的切線，
∴CD²=CB•CA=3，
∴CD=$\sqrt{3}$，
∵∠CDB=∠DAC，
∴△CDB∽△CAD，
∴$\frac{AD}{BD}$=$\frac{AC}{CD}$=$\sqrt{3}$．

點評 本題考查用弦切角定理，角平分線的性質(zhì)，考查三角形相似的判定與性質(zhì)，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．