Question

14、函數(shù)f（x）=（2^x）²-2×2^x+2的定義域為M，值域為[1，2]，給出下列結論：
①M=[1，2]； ②0∈M；③1∈M；④M?[-2，1]；⑤M⊆（-∞，1]； ⑥．M=（-∞，1]
其中一定成立的結論的序號是

②③⑤

．

Answer 1

分析：先設2^x=t，利用換元法求得f（x）=t²-2t+2=（t-1）²+1≥1，結合函數(shù)f（x）=（2^x）²-2×2^x+2的值域為[1，2]，及當x=0時，2^x=1，得到其定義域為x=0∈M，為了使得函數(shù)f（x）取到最小值1，則1∈M；由于M必定是（-∞，1]子集，以及M可以是[0，1]，即可選出正確答案．

解答：解：設2^x=t，則t＞0，
f（x）=t²-2t+2=（t-1）²+1≥1，
∵函數(shù)f（x）=（2^x）²-2×2^x+2的值域為[1，2]，
∴當x=0時，2^x=1，
∴其定義域為x=0∈M，故②一定成立；
為了使得函數(shù)f（x）取到最小值1，則1∈M，故③一定成立；
由于M必定是（-∞，1]子集，故⑥正確；
M可以是[0，1]，故①④⑥錯．
故答案為：②③⑤

點評：本小題主要考查函數(shù)的定義域及其求法、元素與集合關系的判斷、集合的包含關系判斷及應用等基礎知識，考查數(shù)形結合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于基礎題．