【題目】給定空間中十個(gè)點(diǎn),其中任意四點(diǎn)不在一個(gè)平面上,將某些點(diǎn)之間用線段相連,若得到的圖形中沒有三角形也沒有空間四邊形,試確定所連線段數(shù)目的最大值.
【答案】15
【解析】
以這十個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)、所連線段為邊得一個(gè)十階簡單圖G.
下面證明:圖G的邊數(shù)不超過15.
設(shè)圖G的頂點(diǎn)為,共有k條邊,用表示頂點(diǎn)的度.
若對(duì)均成立,則.
假設(shè)存在頂點(diǎn)滿足.不妨設(shè),且與均相鄰.于是,之間沒有邊,否則,就形成三角形.從而,之間恰有n條邊.
對(duì)每個(gè),至多與中的一個(gè)頂點(diǎn)相鄰(否則,設(shè)與 相鄰,則就對(duì)應(yīng)了一個(gè)空間四邊形的四個(gè)頂點(diǎn),這與題設(shè)條件矛盾).從而,與之間的邊數(shù)至多為
.
在這個(gè)頂點(diǎn)之間,由于沒有三角形,由托蘭定理,知至多有條邊.因此,圖G的邊數(shù)為
.
如圖所示給出的圖共有15條邊,且滿足要求.
綜上,所求邊數(shù)的最大值為15.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知三棱柱的側(cè)棱垂直于底面,,,點(diǎn),分別為和的中點(diǎn).
(1)若,求三棱柱的體積;
(2)證明:平面;
(3)請(qǐng)問當(dāng)為何值時(shí),平面,試證明你的結(jié)論.
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【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,已知直線l過點(diǎn).
(1)若直線l的縱截距和橫截距相等,求直線l的方程;
(2)若直線l與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為,求直線l的方程.
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【題目】如圖,四棱錐的底面是正方形, ,點(diǎn)E在棱PB上.
(Ⅰ)求證:平面;
(Ⅱ)當(dāng)且E為PB的中點(diǎn)時(shí),求AE與平面PDB所成的角的大小.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】①若直線與曲線有且只有一個(gè)公共點(diǎn),則直線一定是曲線的切線;
②若直線與曲線相切于點(diǎn),且直線與曲線除點(diǎn)外再?zèng)]有其他的公共點(diǎn),則在點(diǎn)附近,直線不可能穿過曲線;
③若不存在,則曲線在點(diǎn)處就沒有切線;
④若曲線在點(diǎn)處有切線,則必存在.
則以上論斷正確的個(gè)數(shù)是( )
A.0個(gè)B.1個(gè)C.2個(gè)D.3個(gè)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為有效預(yù)防新冠肺炎對(duì)老年人的侵害,某醫(yī)院到社區(qū)檢查老年人的體質(zhì)健康情況.從該社區(qū)全體老年人中,隨機(jī)抽取12名進(jìn)行體質(zhì)健康測試,根據(jù)測試成績(百分制)繪制莖葉圖如下.根據(jù)老年人體質(zhì)健康標(biāo)準(zhǔn),可知成績不低于80分為優(yōu)良,且體質(zhì)優(yōu)良的老年人感染新冠肺炎的可能性較低.
(Ⅰ)從抽取的12人中隨機(jī)選取3人,記表示成績優(yōu)良的人數(shù),求的分布列及數(shù)學(xué)期望;
(Ⅱ)將頻率視為概率,根據(jù)用樣本估計(jì)總體的思想,在該社區(qū)全體老年人中依次抽取10人,若抽到人的成績是優(yōu)良的可能性最大,求的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù) ,x R其中a>0.
(Ⅰ)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)若函數(shù)f(x)在區(qū)間(-3,0)內(nèi)恰有兩個(gè)零點(diǎn),求a的取值范圍;
(Ⅲ)當(dāng)a=1時(shí),設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間[t,t+3]上的最大值為M(t),最小值為m(t),記 ,求函數(shù)g(t)在區(qū)間[-4,-1]上的最小值.
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【題目】已知函數(shù)為奇函數(shù).
(1)求實(shí)數(shù)的值;
(2)用定義法討論并證明函數(shù)的單調(diào)性.
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