Question

（2013•肇慶二模）PM2.5是指大氣中直徑小于或等于2.5微米的顆粒物，也稱(chēng)為可入肺顆粒物．雖然PM2.5只是地球大氣成分中含量很少的組分，但它對(duì)空氣質(zhì)量和能見(jiàn)度等有重要的影響．我國(guó)PM2.5標(biāo)準(zhǔn)如表1所示．我市環(huán)保局從市區(qū)四個(gè)監(jiān)測(cè)點(diǎn)2012年全年每天的PM2.5監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)中隨機(jī)抽取15天的數(shù)據(jù)作為樣本，監(jiān)測(cè)值如莖葉圖如圖所示．
（1）求這15天數(shù)據(jù)的平均值（結(jié)果保留整數(shù)）．
（2）從這15天的數(shù)據(jù)中任取3天的數(shù)據(jù)，記表示其中空氣質(zhì)量達(dá)到一級(jí)的天數(shù)ξ，求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望；
（3）以這15天的PM2.5日均值來(lái)估計(jì)一年的空氣質(zhì)量情況，則一年（按360天計(jì)算）中大約有多少天的空氣質(zhì)量達(dá)到一級(jí)．

PM2.5日均值（微克/立方米）范圍	空氣質(zhì)量級(jí)別
（1，35]	I
（35，75]	II
大于75	超標(biāo)

Answer 1

分析：（1）根據(jù)莖葉圖得到15天的數(shù)據(jù)，然后利用平均數(shù)公式求出平均數(shù)即可．
（2）ξ服從超幾何分布：其中N=15，M=5，n=3，ξ的可能值為0，1，2，3，故可得其分布列和數(shù)學(xué)期望；
（3）一年中每天空氣質(zhì)量達(dá)到一級(jí)的概率為P=

1

3

，一年中空氣質(zhì)量達(dá)到一級(jí)的天數(shù)η～B（360，

1

3

），求出期望，即可得到結(jié)論．

解答：解：（1）隨機(jī)抽取15天的數(shù)據(jù)的平均數(shù)為：

.

x

=

1

15

(25+28+31+…+92)=55（3分）
（2）依據(jù)條件，ξ的可能值為0，1，2，3，
當(dāng)ξ=0時(shí)，P(ξ=0)=

C 0 5 C 3 10

C 3 15

=

24

91

，（4分）
當(dāng)ξ=1時(shí)，P(ξ=1)=

C 1 5 C 2 10

C 3 15

=

45

91

（5分）
當(dāng)ξ=2時(shí)，P(ξ=2)=

C 2 5 C 1 10

C 3 15

=

20

91

，（6分）
當(dāng)ξ=3時(shí)，P(ξ=0)=

C 3 5 C 0 10

C 3 15

=

2

91

（7分）
所以其分布列為：

ξ	0	1	2	3
P	24 91	45 91	20 91	2 91

（8分）
數(shù)學(xué)期望為：Eξ=

45

91

+2×

20

91

+3×

2

91

=1（10分）
（3）依題意可知，一年中每天空氣質(zhì)量達(dá)到一級(jí)的概率為P=

5

15

=

1

3

，（11分）
一年中空氣質(zhì)量達(dá)到一級(jí)的天數(shù)為η，則η～B(360，

1

3

)，
∴Eη=360×

1

3

=120（天）
所以一年中平均有120天的空氣質(zhì)量達(dá)到一級(jí)．（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查等可能事件概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列，考查利用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題，屬于中檔題．