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精英家教網如圖，已知四棱錐S-ABCD的底面是邊長為4的正方形，S在底面上的射影O落在正方形ABCD內，且O到AB、AD的距離分別為2和1． P是SC上的點，
SP
PC
=
1
3
．
（1）求證：OP∥平面SAD；
（2）求證：
AB
•
SC
是定值．
分析：（1）已知四棱錐S-ABCD的底面是邊長為4的正方形，在SD上取一點Q，使
SQ
QD
=
1
3
，只要證明四邊形PQMO是平行四邊形，再利用直線與平面平行的判定定理進行證明，即可解決問題；
（2）設點O向BC所引的垂線段為ON，利用向量的乘法進行證明．
解答：解：（1）證明：在SD上取一點Q，使
SQ
QD
=
1
3
，
設點O向AD所引的垂線段為OM．則OM=1．連接PQ，QM．
∵
SQ
QD
=
SP
PC
=
1
3
，
∴PQ∥CD．∵OM∥CD，∴PQ∥OM．∵
PQ
CD
=
1
4
，
∴PQ=1．∴四邊形PQMO是平行四邊形．
∴OP∥QM，∵QM?平面SAD，PO?平面SAD，
∴OP∥平面SAD．
（2）設點O向BC所引的垂線段為ON．
則ON=3，
∴
AB
•
SC
=
AB
•(
OC
-
OS
)=
AB
•
OC
-
AB
•
OS
=
AB
•
OC

=|
AB
||
OC
|cos∠CON=|
AB
||
ON
|=12．
∴
AB
•
SC
是定值．
點評：此題考查直線與平面平行的判斷及向量的應用，第一問此類問題一般先證明兩個面平行，再證直線和面平行，這種做題思想要記住，此類立體幾何題是每年高考必考的一道大題，要注意這方面的題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

如圖，已知四棱錐S-ABCD的底面ABCD是邊長為1的正方形，SA⊥平面ABCD，SA=2，E是側棱SC上的一點．
（1）求證：平面EBD⊥平面SAC；
（2）求四棱錐S-ABCD的體積．

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科目：高中數學 來源： 題型：

如圖，已知四棱錐S-ABCD的底面是邊長為4的正方形，S在底面上的射影O落在正方形ABCD內，SO的長為3，O到AB，AD的距離分別為2和1，P是SC的中點．
（Ⅰ）求證：平面SOB⊥底面ABCD；
（Ⅱ）設Q是棱SA上的一點，若
AQ
=
3
4
AS
，求平面BPQ與底面ABCD所成的銳二面角余弦值的大小．

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科目：高中數學 來源： 題型：

如圖，已知四棱錐S-A BCD是由直角梯形沿著CD折疊而成，其中SD=DA=AB=BC=l，AS∥BC，AB⊥AD，且二面角S-CD-A的大小為120°．
（Ⅰ）求證：平面ASD⊥平面ABCD；
（Ⅱ）設側棱SC和底面ABCD所成角為θ，求θ的正弦值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2008•湖北模擬）如圖，已知四棱錐S-ABCD中，△SAD是邊長為a的正三角形，平面SAD⊥平面ABCD，四邊形ABCD為菱形，∠DAB=60°，P為AD的中點，Q為SB的中點．
（Ⅰ）求證：PQ∥平面SCD；
（Ⅱ）求二面角B-PC-Q的大�。�

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2010•江西模擬）（如圖）已知四棱錐S-ABCD的底面ABCD是菱形，將面SAB，SAD，ABCD 展開成平面后的圖形恰好為一正三角形S'SC．
（1）求證：在四棱錐S-ABCD中AB⊥SD．
（2）若AC長等于6，求異面直線AB與SC之間的距離．

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