Question

某中學(xué)團(tuán)委組織了“弘揚(yáng)奧運(yùn)精神，愛(ài)我中華”的知識(shí)競(jìng)賽，從參加考試的學(xué)生中抽出60名學(xué)生，將其成績(jī)（均為整數(shù)）分成六段[40，50），[50，60），…，[90，100]后畫出如圖所示部分頻率分布直方圖．觀察圖形給出的信息，回答下列問(wèn)題：
（1）求第四小組的頻率，并補(bǔ)全這個(gè)頻率分布直方圖；
（2）估計(jì)這次考試的及格率（60分及以上為及格）和平均分；
（3）若從數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)赱40，50）與[90，100]兩個(gè)分?jǐn)?shù)段內(nèi)的學(xué)生中隨機(jī)選取兩名學(xué)生，求這兩名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)之差的絕對(duì)值不大于10的概率．

Answer 1

考點(diǎn)：列舉法計(jì)算基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率,頻率分布直方圖

專題：概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（1）根據(jù)各組的頻率和等于1，利用1將去已知各組的頻率，從而可求出第四組的頻率，畫出直方圖即可；
（2）依題意，累加60分以上各組的頻率和，可估計(jì)出及格率，累加各組組中值與頻率的積，查估算抽樣學(xué)生的平均分；
（3）分別求出從數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)赱40，50）與[90，100]兩個(gè)分?jǐn)?shù)段內(nèi)的學(xué)生中隨機(jī)選取兩名學(xué)生的取法總數(shù)，和滿足這兩名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)之差的絕對(duì)值不大于10取法數(shù)，代入古典概率概率計(jì)算公式，可得答案．

解答： 解：（1）因?yàn)楦鹘M的頻率和等于1，
故第四組的頻率：f₄=1-（0.025+0.015×2+0.01+0.005）×10=0.3．
再由組距為10，故第四組的矩形高為：0.3÷10=0.03，
其頻率分布直方圖如圖所示．

（2）依題意，60分及以上的分?jǐn)?shù)所在的第三、四、五、六組，
頻率和為（0.015+0.030+0.025+0.005）×10=0.75．
所以，估計(jì)這次考試的合格率是75%．
利用組中值估算這次考試的平均分為
45×0.1+55×0.15+65×0.15+75×0.3+85×0.25+95×0.05=71．
所以估計(jì)這次考試的平均分是71分．
（3）數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)赱40，50）與[90，100]兩個(gè)分?jǐn)?shù)段內(nèi)的學(xué)生分別有：0.01×10×60=6，0.005×10×60=3，
從中選取兩名學(xué)生，共有

C

2 9

=36種不同取法，
若這兩名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)之差的絕對(duì)值不大于10，表示這個(gè)同學(xué)取自同一段，
共有

C

2 6

+C

2 3

=18種方法，
故這兩名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)之差的絕對(duì)值不大于10的概率為：

18

36

=

1

2

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了頻率分布直方圖、用樣本估計(jì)總體、等可能事件的概率，同時(shí)考查了作圖能力，屬于中檔題．