3.已知各項均為正數(shù)的數(shù)列{an}的前n項和為Sn.數(shù)列{an}中的項按下列規(guī)律過程構(gòu)成無窮多個行列式:|$\begin{array}{l}{a_1}{a_2}{a_3}\\{a_4}{a_5}{a_6}\\{a_7}{a_8}{a_9}\end{array}|,|\begin{array}{l}{a_7}{a_8}{a_9}\\{a_{10}}{a_{11}}{a_{12}}\\{a_{13}}{a_{14}}{a_{15}}\end{array}|,|\begin{array}{l}{a_{13}}{a_{14}}{a_{15}}\\{a_{16}}{a_{17}}{a_{18}}\\{a_{19}}{a_{20}}{a_{21}}\end{array}|…,記{A_i}為{a_i}$(i=1,2,3…)的代數(shù)余子式.
(1)若Sn=2n2+n,求A1,A4,A6,A9;
(2)若數(shù)列{an}為等差數(shù)列,A3=-27$,\;{a_1}=5\;,\;{b_n}=\frac{a_n}{2^n}$,求數(shù)列{bn}的前n項和Tn;
(3)數(shù)列{an}為公差不為0的等差數(shù)列,Ai=λ(Ai-k+Ai+k),其中i,i-k,i+k,k∈N*.試研究λ的所有可能值,并指出取到每個值時的條件(注:本小題將根據(jù)考生研究的情況分層評分).

分析 (1)先求出an=4n-1,再求A1,A4,A6,A9;
(2)求出數(shù)列的通項,利用錯位相減法求數(shù)列{bn}的前n項和Tn;
(3)${A_{\;i}}=\left\{\begin{array}{l}6{d^2}\;(\;i\;為偶數(shù)\;)\\-3{d^2}\;(\;i\;為奇數(shù)且\;i≠6m-1,m∈{N^*}\;)\\-12{d^2}\;(\;i=6m-1,m∈{N^*}\;)\end{array}\right.$,分類討論,即可研究λ的所有可能值,并指出取到每個值時的條件.

解答 解:(1)當n≥2時,an=Sn-Sn-1=4n-1.
∵a1=S1=3符合上式,∴an=4n-1.
∴A1=-48,A4=96,A6=96,A9=-48;
(2)A3=$|\begin{array}{l}{{a}_{4}}&{{a}_{5}}\\{{a}_{7}}&{{a}_{8}}\end{array}|$=(a1+3d)(a1+7d)-(a1+4d)(a1+6d)=-27=-3d2,
∴d=3.
∴an=3n+2,∴${b_n}=\frac{3n+2}{2^n}.\\{T_n}=\frac{1}{2}×5+{(\frac{1}{2})^2}×8+{(\frac{1}{2})^3}×11+…+{(\frac{1}{2})^n}×(3n+2)\;①\\ 2{T_n}=1×5+(\frac{1}{2})×8+{(\frac{1}{2})^2}×11+…+{(\frac{1}{2})^{n-1}}×(3n+2)②\end{array}$
∴Tn=5•$\frac{1}{2}$+8•$\frac{1}{{2}^{2}}$+…+(3n+2)•$\frac{1}{{2}^{n}}$①
∴$\frac{1}{2}$Tn=5•$\frac{1}{{2}^{2}}$+8•$\frac{1}{{2}^{3}}$+…+(3n+2)•$\frac{1}{{2}^{n+1}}$②
$②-①,得\;{T_n}=8-{(\frac{1}{2})^n}×(3n+8)$.
(3)${A_{\;i}}=\left\{\begin{array}{l}6{d^2}\;(\;i\;為偶數(shù)\;)\\-3{d^2}\;(\;i\;為奇數(shù)且\;i≠6m-1,m∈{N^*}\;)\\-12{d^2}\;(\;i=6m-1,m∈{N^*}\;)\end{array}\right.$
①當i=6m-1,m∈N*時,Ai=$\left\{\begin{array}{l}{-({A}_{i-k}+{A}_{i+k})(k為奇數(shù))}\\{2({A}_{i-k}+{A}_{i+k})(k為偶數(shù),且k≠6p)}\\{\frac{1}{2}({A}_{i-k}+{A}_{i+k})(k=6p)}\end{array}\right.$,∴λ=-1,2,$\frac{1}{2}$;
②i=6m+4或i=6m+6,Ai=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}({A}_{i-k}+{A}_{i+k})(k為偶數(shù))}\\{-({A}_{i-k}+{A}_{i+k})(k=6p+3)}\\{-\frac{2}{5}({A}_{i-k}+{A}_{i+k})(k=6p+1,6p+5)}\end{array}\right.$,∴λ=-$\frac{2}{5}$,-1,$\frac{1}{2}$;
③i=6m+2,Ai=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}({A}_{i-k}+{A}_{i+k})(k為偶數(shù))}\\{-({A}_{i-k}+{A}_{i+k})(k為奇數(shù),k≠6p+3)}\\{-\frac{1}{4}({A}_{i-k}+{A}_{i+k})(k=6p+3)}\end{array}\right.$,∴λ=-$\frac{1}{4}$,-1,$\frac{1}{2}$;
④i=6m+1或i=6m+3,Ai=$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{1}{4}({A}_{i-k}+{A}_{i+k})(k為奇數(shù))}\\{\frac{1}{2}({A}_{i-k}+{A}_{i+k})(k=6p)}\\{\frac{1}{5}({A}_{i-k}+{A}_{i+k})(k=6p+2或k=6p+4)}\end{array}\right.$,∴λ=-$\frac{1}{4}$,$\frac{1}{5}$,$\frac{1}{2}$,
綜上所述,λ取值集合為{-1,2,$\frac{1}{2}$,-$\frac{1}{4}$,$\frac{1}{5}$,-$\frac{2}{5}$}.

點評 本題考查矩陣與數(shù)列的結(jié)合,考查數(shù)列的通項與求和,考查分類討論的數(shù)學思想,難度大.

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