Question

數列{a_n}的前n項和記為S_n，a₁=1，a_n+1=2S_n+1（n≥1），求{a_n}的通項公式．

Answer 1

【答案】分析：由a_n+1=2S_n+1（n≥1），可得a_n=2S_n-1+1，將兩個式子相減可導出相鄰兩項的關系式，從而判斷出數列為等比數列，將所得條件代入等比數列通項公式即可求出{a_n}的通項公式．但需注意的是a₂與a₁是單獨求證的．并不是由兩式相減直接得出的．
解答：解：由a_n+1=2S_n+1（n≥1）可得a_n=2S_n-1+1，
兩式相減得a_n+1-a_n=2（S_n-S_n-1）=2a_n（n≥2），∴a_n+1=3a_n（n≥2），
∵a₂=2S₁+1=3=3a₁，
所以數列 {a_n}是等比數列，且公比為3，首項為1，由等比數列通項公式得 a_n=3^n-1
故所求通項 a_n=3^n-1
點評：本題主要借助前N項和與項的關系考查數列遞推公式的同時，也檢測了學生對等比數列定義，通項公式等基礎知識的掌握，在數列求解過程中對于數列項的下角標的把握是容易忽略的地方，應時刻注意．