【題目】已知函數(shù)的最大值與最小值之和為a2+a+1(a>1).

(1)求a的值;

(2)判斷函數(shù)gx)=fx)-3在[1,2]的零點的個數(shù),并說明理由.

【答案】(1);(2)一個零點.

【解析】

(1)函數(shù)a>1時單調(diào)遞增,再根據(jù)函數(shù)的最大值與最小值之和為a2+a+1.即可得出.

(2)由(1)可得函數(shù)f(x)=log2x+2x.可得函數(shù)f(x)在[1,2]內(nèi)單調(diào)遞增,可得g(x)=f(x)-3[1,2]內(nèi)單調(diào)遞增,最多有一個零點.再利用零點存在的判定定理即可得出.

解:(1)函數(shù)a>1時單調(diào)遞增,

又函數(shù)的最大值與最小值之和為a2+a+1.

f(1)+f(2)=0+a+loga2+a2=a2+a+1,解得a=2.

(2)由(1)可得函數(shù)fx)=log2x+2x

可得函數(shù)fx)在[1,2]內(nèi)單調(diào)遞增,

可得gx)=fx)-3在[1,2]內(nèi)單調(diào)遞增,最多有一個零點.

g(1)=f(1)-3=2-3=-1<0,g(2)=f(2)-3=-3=2>0,

可得函數(shù)在[1,2]內(nèi)有且只有一個零點.

練習冊系列答案
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