Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=x2﹣lnx．
（1）求函數(shù)y=f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）設(shè)g（x）=x﹣t，若函數(shù)h（x）=g（x）﹣f（x）在[ ，e]上（這里e≈2.718）恰有兩個不同的零點(diǎn)，求實數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：函數(shù)定義域為（0，+∞）

f′（x）=2x﹣ = ，

所以函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為（0， ）單調(diào)增區(qū)間為（ ，+∞）

（2）解：函數(shù)函數(shù)h（x）=g（x）﹣f（x）=x﹣t﹣x2+lnx在[ ，e]恰有兩個不同的零點(diǎn)，

等價于t=x﹣x2+lnx在[ ，e]恰有兩個不同的實數(shù)根

令k（x）=x﹣x2+lnx則k′（x）=﹣

當(dāng)x∈（ ，1）時，k′（x）＞0，k（x）在（ ，1）遞增，

當(dāng)（1，e）時，k′（x）＜0，k（x）在（1，e）遞減）

故kmax（x）=k（1）=0，k（ ）= ﹣1，k（e）=﹣e2+e+1，

所以t∈[ ﹣1，﹣e2+e+1]

【解析】（1）求解f′（x）=2x﹣ ，利用不等式得出單調(diào)性即可．（2）轉(zhuǎn)化為t=x﹣x2+lnx在[ ，e]恰有兩個不同的實數(shù)根，構(gòu)造函數(shù)令k（x）=x﹣x2+lnx利用k′（x）=﹣ 求解最值．
【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，需要了解一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系： 在某個區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減才能得出正確答案．