Question

【題目】已知橢圓經(jīng)過點(diǎn)，點(diǎn)是橢圓上在第一象限的點(diǎn)，直線 交軸于點(diǎn)，直線交軸于點(diǎn).

（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和離心率；

（Ⅱ）是否存在點(diǎn)，使得直線 與直線平行？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】(1) ， ；(2)存在， .

【解析】試題分析：（Ⅰ）由橢圓經(jīng)過點(diǎn)，可得，從而可得，；進(jìn)而可得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和離心率；（Ⅱ）假設(shè)存在點(diǎn)，使得直線與直線平行.

設(shè)，設(shè)出直線、直線的方程，求出、的坐標(biāo)，根據(jù)，可得結(jié)果.

試題解析：（Ⅰ）依題意設(shè)所求橢圓方程為.

因?yàn)闄E圓經(jīng)過點(diǎn)，

所以.

所以

所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，離心率.

（Ⅱ）存在點(diǎn)，使得直線與直線平行.

設(shè).

則，即.

因?yàn)?/span>

所以

令則.

所以.

因?yàn)?/span>，

所以.

令則.

所以.

所以.

若直線與直線平行，那么.

因?yàn)?/span>，

所以.

即 .

所以.

所以.

即.

因?yàn)?/span>,

所以.

所以》

所以.

所以

所以.