Question

已知f（x）=x³-ax²-4x（a為常數(shù)），若函數(shù)f（x）在x=2處取得一個(gè)極值，
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（2，c），（c≠-8）可作曲線y=f（x）的三條切線，求實(shí)數(shù)c的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）先求導(dǎo)數(shù)fˊ（x）然后在函數(shù)的定義域內(nèi)解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0，fˊ（x）＞0的區(qū)間為單調(diào)增區(qū)間，fˊ（x）＜0的區(qū)間為單調(diào)減區(qū)間．
（2）先根據(jù)導(dǎo)數(shù)運(yùn)算對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，再由切線斜率的值等于該點(diǎn)導(dǎo)函數(shù)的值，設(shè)切點(diǎn)是（x₀，x₀³-2x₀²-4x₀），寫(xiě)出切線方程，把點(diǎn)A（2，c）代入切線方程得到2x³-8x²+8x+8+c=0有三個(gè)不同的實(shí)根，最后結(jié)合導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)g（x）=2x³-8x²+8x+8+c，的單調(diào)性鄧可求得實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答：解：（1）f'（x）=3x²-2ax-4∴f'（2）=12-4a-4=0∴a=2∴f'（x）=3x²-4x-4由f'（x）＞0得x＞2或x＜-

2

3

∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（-∞，-

2

3

），（2，+∞），f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是（-

2

3

，2）
（2）f（x）=x³-2x²-4x
設(shè)切點(diǎn)是（x₀，x₀³-2x₀²-4x₀），則f'（x₀）=3x₀²-4x₀-4∴切線方程為y-（x₀³-2x₀²-4x₀）=（3x₀²-4x₀-4）（x-x₀）
把點(diǎn)A（2，c）代入上式得2x₀³-8x₀²+8x₀+8+c=0∵過(guò)點(diǎn)A可作y=f（x）的三條切線∴2x³-8x²+8x+8+c=0有三個(gè)不同的實(shí)根
設(shè)g（x）=2x³-8x²+8x+8+c，則g'（x）=6x²-16x+8，令g'（x）=0得x=

2

3

或x=2
∴g（x）在（-∞，

2

3

)，(2，+∞)上單調(diào)遞增，在(

2

3

，2）上單調(diào)遞減
由題意 

g(x)極大值=g( 2 3 )＞0 g(x)極小值=g(2)＜0

，解得-

280

27

＜c＜-8

點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程、函數(shù)的單調(diào)性，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性的步驟是：（1）確定函數(shù)的定義域；（2）求導(dǎo)數(shù)fˊ（x）；（3）在函數(shù)的定義域內(nèi)解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0；（4）確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．若在函數(shù)式中含字母系數(shù)，往往要分類討論．