Question

已知數列的前項和為滿足.

（1）函數與函數互為反函數，令，求數列的前項和；

（2）已知數列滿足，證明:對任意的整數，有.

 

Answer 1

（1）;

【解析】

試題分析：（1）先由題意求出的解析式，再利用數列前n項和與第n項關系，求出及第n項與第n-1項的遞推關系，結合等比數列的定義知數列是等比數列，再根據等比數列通項公式求出的通項公式，由對數函數與指數函數互為反函數結合已知條件求出的解析式，將的通項公式代入求出的通項公式，利用數列求和方法求出；（2）求出的通項公式，將不等式左邊具體化，利用放縮法化成等比數列求和問題求出和，通過放縮所證不等式.

試題解析：（1）由，得

當時，有，

所以數列是以2為首項，2為公比的等比數列，所以

由題意得，所以

①

得 ②

得，所以

（2）由通項公式得，當且為奇數時

當且為偶數時

當且為奇數時

所以對任意的整數，有.

考點：1.數列前n項和與第n項關系;2.等比數列定義與通項公式；3.對數函數與指數函數是互為反函數；4.錯位相減法；5.放縮法證明不等式.