Question

已知數(shù)列的前項(xiàng)和為滿足.

（1）函數(shù)與函數(shù)互為反函數(shù)，令，求數(shù)列的前項(xiàng)和；

（2）已知數(shù)列滿足，證明:對(duì)任意的整數(shù)，有.

 

Answer 1

（1）;

【解析】

試題分析：（1）先由題意求出的解析式，再利用數(shù)列前n項(xiàng)和與第n項(xiàng)關(guān)系，求出及第n項(xiàng)與第n-1項(xiàng)的遞推關(guān)系，結(jié)合等比數(shù)列的定義知數(shù)列是等比數(shù)列，再根據(jù)等比數(shù)列通項(xiàng)公式求出的通項(xiàng)公式，由對(duì)數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)結(jié)合已知條件求出的解析式，將的通項(xiàng)公式代入求出的通項(xiàng)公式，利用數(shù)列求和方法求出；（2）求出的通項(xiàng)公式，將不等式左邊具體化，利用放縮法化成等比數(shù)列求和問(wèn)題求出和，通過(guò)放縮所證不等式.

試題解析：（1）由，得

當(dāng)時(shí)，有，

所以數(shù)列是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，所以

由題意得，所以

①

得 ②

得，所以

（2）由通項(xiàng)公式得，當(dāng)且為奇數(shù)時(shí)

當(dāng)且為偶數(shù)時(shí)

當(dāng)且為奇數(shù)時(shí)

所以對(duì)任意的整數(shù)，有.

考點(diǎn)：1.數(shù)列前n項(xiàng)和與第n項(xiàng)關(guān)系;2.等比數(shù)列定義與通項(xiàng)公式；3.對(duì)數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)是互為反函數(shù)；4.錯(cuò)位相減法；5.放縮法證明不等式.