Question

16．設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，已知a₁=1，s₂=2，且a_n+2=3S_n-S_n+1+3（n∈N*）．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）若b_n=$\frac{lo{g}_{3}{a}_{2n+1}}{{a}_{2n}}$，求{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （1）令n=n-1再和條件式相減得出遞推式，從而得出{a_n}的奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)均為等比數(shù)列進(jìn)而求出通項(xiàng)公式；
（2）化簡b_n，利用錯(cuò)位相減法求和．

解答 解：（1）∵a_n+2=3S_n-S_n+1+3，∴a_n+1=3S_n-1-S_n+3，
兩式相減得：a_n+2-a_n+1=3a_n-a_n+1，即a_n+2=3a_n．
又a₁=1，s₂=2，∴a₁=a₂=1．
∴{a_n}的奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)均組成以1為首項(xiàng)，以3為公比的等比數(shù)列，
∴a_n=$\left\{\begin{array}{l}{{3}^{\frac{n-1}{2}，n為奇數(shù)}}\\{{3}^{\frac{n-2}{2}，n為偶數(shù)}}\end{array}\right.$．
（2）由（1）可知a_2n+1=3ⁿ，a_2n=3^n-1，
∴b_n=$\frac{lo{g}_{3}{a}_{2n+1}}{{a}_{2n}}$=$\frac{n}{{3}^{n-1}}$，
∴T_n=1+$\frac{2}{3}$+$\frac{3}{{3}^{2}}$+$\frac{4}{{3}^{3}}$+…+$\frac{n}{{3}^{n-1}}$，
∴$\frac{{T}_{n}}{3}$=$\frac{1}{3}$+$\frac{2}{{3}^{2}}$+$\frac{3}{{3}^{3}}$+$\frac{4}{{3}^{4}}$+…+$\frac{n}{{3}^{n}}$，
∴$\frac{2{T}_{n}}{3}$=1+$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{{3}^{2}}$+$\frac{1}{{3}^{3}}$+…+$\frac{1}{{3}^{n-1}}$-$\frac{n}{{3}^{n}}$=$\frac{1-（\frac{1}{3}）^{n}}{1-\frac{1}{3}}$-$\frac{n}{{3}^{n}}$=$\frac{3}{2}$（1-$\frac{1}{{3}^{n}}$）-$\frac{n}{{3}^{n}}$，
∴T_n=$\frac{9}{4}$（1-$\frac{1}{{3}^{n}}$）-$\frac{n}{2}$•$\frac{1}{{3}^{n-1}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)列通項(xiàng)公式的求法，錯(cuò)位相減法求和，屬于中檔題．