Question

12．從重量分別為1，2，3，4，…，10，11克的砝碼（每種砝碼各一個(gè)）中選出若干個(gè)，使其總重量恰為10克的方法總數(shù)為m，下列各式的展開式中x¹⁰的系數(shù)為m的選項(xiàng)是（　�。�

• A． （1+x）（1+x²）（1+x³）…（1+x¹¹）
• B． （1+x）（1+2x）（1+3x）…（1+11x）
• C． （1+x）（1+2x²）（1+3x³）…（1+11x¹¹）
• D． （1+x）（1+x+x²）（1+x+x²+x³）…（1+x+x²+…+x¹¹）

Answer 1

分析 x¹⁰是由x、x²、x³、x⁴、x⁵、x⁶、x⁷、x⁸、x⁹、x¹⁰、x¹¹中的指數(shù)和等于10 的那些項(xiàng)的乘積構(gòu)成，有多少種這樣的乘積，就有多少個(gè)x¹⁰．各個(gè)這樣的乘積，分別對應(yīng)從重量1，2，3，…10，11克的砝碼（每種砝碼各一個(gè)）中，選出若干個(gè)表示10克的方法．

解答 解：x¹⁰是由x、x²、x³、x⁴、x⁵、x⁶、x⁷、x⁸、x⁹、x¹⁰、x¹¹中的指數(shù)和等于10 的那些項(xiàng)的乘積構(gòu)成，有多少種這樣的乘積，就有多少個(gè)x¹⁰．
各個(gè)這樣的乘積，分別對應(yīng)從重量1，2，3，…10，11克的砝碼（每種砝碼各一個(gè)）中，選出若干個(gè)表示10克的方法．
故“從重量1，2，3，…10，11克的砝碼（每種砝碼各一個(gè)）中選出若干個(gè)．使其總重量恰為9克的方法總數(shù)”，
就是“（1+x）（1+x²）（1+x³）…（1+x¹⁰）（1+x¹¹）”的展開式中x¹⁰的系數(shù)”，
故選：A．

點(diǎn)評 本題考查了二項(xiàng)式定理的應(yīng)用、組合數(shù)的應(yīng)用，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．