Question

【題目】已知函數(shù)，

（1）若的圖像過點，且在點P處的切線方程為，試求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）當(dāng)時，若函數(shù)恒成立，求整數(shù)的最小值.

Answer 1

【答案】（1）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為。（2）1

【解析】

（1）由圖象過點，得，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義得，列出關(guān)于的方程，解出，通過導(dǎo)數(shù)與0的關(guān)系可得單調(diào)區(qū)間；（2）原題等價于在區(qū)間內(nèi)恒成立，設(shè)，對其二次求導(dǎo)可得有極大值，也為最大值，根據(jù)，即可得結(jié)果.

（1）.函數(shù)過點可知，，，

∴，，，聯(lián)立可得，

所以，函數(shù)的定義域為，

可知，，，，可知函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為 ，單調(diào)遞減區(qū)間為

（2）由可知

因為，所以原命題等價于在區(qū)間內(nèi)恒成立．

設(shè)

可設(shè)，在單調(diào)遞增，且，

所以存在唯一的，使得

且當(dāng)時， ， 單調(diào)遞增，

當(dāng)時， ， 單調(diào)遞減，

所以當(dāng)時， 有極大值，也為最大值，且

又，所以∴,可知，所以的最小值為1.