Question

甲、乙兩名跳高運動員一次試跳2米高度成功的概率分別為0、7、0、6，且每次試跳成功與否相互之間沒有影響，求：
（I）甲試跳三次，第三次才能成功的概率；
（II）甲、乙兩人在第一次試跳中至少有一人成功的概率；
（III）甲、乙各試跳兩次，甲比乙的成功次數(shù)恰好多一次的概率．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題意知本題是一個相互獨立事件，甲試跳三次，第三次才能成功的概率，表示甲前兩次試跳不成功，而第三次試跳才成功，記出事件，根據(jù)相互獨立事件同時發(fā)生的概率，得到結(jié)果．
（2）甲、乙兩人在第一次試跳中至少有一人成功表示甲成功且乙成功，甲不成功且乙成功，甲成功且乙不成功，三種結(jié)果，這三種事件之間是互斥關(guān)系，根據(jù)互斥事件和相互獨立事件的概率，得到結(jié)果．
（3）甲、乙各試跳兩次，甲比乙的成功次數(shù)恰好多一次表示甲成功兩次且乙成功一次，甲成功一次且乙成功0次，兩種結(jié)果，這兩種結(jié)果是互斥的，根據(jù)互斥事件的概率，得到結(jié)果．
解答：解：記“甲第i次試跳成功”為事件A₁，“乙第i次試跳成功”為事件B₁、
依題意得P（A₁）=0.7，P（B₁）=0.6，且A₁，B₁（i=1，2，3）相互獨立、
（I）“甲第三次試跳才成功”為事件A₃，且三次試跳相互獨立，
∴P（A₃）=P（）P=0.3×0.3×0.7=0.063
即甲第三次試跳才成功的概率為0.063．

（II）甲、乙兩支在第一次試跳中至少有一人成功為事件C，
解法一：C=A₁彼此互斥，
∴P（C）=
=
=0.7×0.4+0.3×0.6+0.7×0.6
=0.88

解法二：P（C）=1-=1-0.3×0.4=0.88．
即甲、乙兩人在第一次試跳中至少有一人成功的概率為0.88

（III）設(shè)“甲在兩次試跳中成功i次”為事件M_i（i=0，1，2），
“乙在兩次試跳中成功i次”為事件N_i（i=0，1，2），
∵事件“甲、乙各試跳兩次，甲比乙的成功次數(shù)恰好多一次”可表示為M₁N+M₂N₁，且M₁N、M₂N₁為互斥事件．
∴所求的概率為P（M₁N+M₂N₁）=P（M₁N）+P（M₂N₁）=P（M₁）P（N）+P（M₂）P（N₁）
=C₂¹×0.7×0.3×0.4²+0.7²×C₂¹×0.6×0.4
=0.0672+0.2352
=0.3024．
即甲、乙每人試跳兩次，甲比乙的成功次數(shù)恰好多一次的概率為0.3024．
點評：本小題主要考查概率的基礎(chǔ)知識，運用數(shù)學(xué)知識解決問題的能力，以及推理與運算能力．相互獨立事件是指，兩事件發(fā)生的概率互不影響，注意應(yīng)用相互獨立事件同時發(fā)生的概率公式．