(2009•重慶模擬)已知雙曲線C1的漸近線方程是y=±x,且它的一條準(zhǔn)線與漸近線y=x及x軸圍成的三角形的周長是
2
+1

(I)求以C1的兩個(gè)頂點(diǎn)為焦點(diǎn),以C1的焦點(diǎn)為頂點(diǎn)的橢圓C2的方程;
(II)AB是橢圓C2的長為
2
的動(dòng)弦,O為坐標(biāo)原點(diǎn),求△OAB的面積S的取值范圍.
分析:(I)由題意知雙曲線焦點(diǎn)在x軸,設(shè)雙曲線C1的方程為
x2
a2
-
y2
b2
=1(a>0,b>0)
,利用雙曲線C1的漸近線方程是y=±x,且它的一條準(zhǔn)線與漸近線y=x及x軸圍成的三角形的周長是
2
+1
,即可求得方程;
(II)分類討論:(1)當(dāng)直線AB斜率不存在時(shí),設(shè)直線AB的方程為x=m,求得A,B的坐標(biāo),可求△OAB的面積;(2)當(dāng)直線AB斜率存在時(shí),設(shè)直線AB的方程為y=kx+m代入
x2
2
+y2=1
,進(jìn)而求出面積的表達(dá)式,再研究△OAB的面積S的取值范圍即可.
解答:解:(I)由題意知雙曲線焦點(diǎn)在x軸,設(shè)雙曲線C1的方程為
x2
a2
-
y2
b2
=1(a>0,b>0)

b
a
=1
a2
a2+b2
(2+
2
)=
2
 +1
,解得a=b=1
∴雙曲線C1的方程為x2-y2=1,
∴雙曲線的兩個(gè)頂點(diǎn)為(-1,0),(1,0),焦點(diǎn)為(
2
,0),(-
2
,0)
∵橢圓C2以C1的兩個(gè)頂點(diǎn)為焦點(diǎn),以C1的焦點(diǎn)為頂點(diǎn)
∴橢圓C2的兩個(gè)焦點(diǎn)為(-1,0),(1,0),頂點(diǎn)為(
2
,0),(-
2
,0)
∴橢圓C2的方程為
x2
2
+y2=1

(II)(1)當(dāng)直線AB斜率不存在時(shí),設(shè)直線AB的方程為x=m,
A(m,
2
2
)
,B(m,-
2
2
)
代入
x2
2
+y2=1
得m=±1,
∴△OAB的面積S=
2
2

(2)當(dāng)直線AB斜率存在時(shí),設(shè)直線AB的方程為y=kx+m代入
x2
2
+y2=1

得(1+2k2)x2+4kmx+2(m2-1)=0
令A(yù)(x1,y1),B(x2,y2)則
x1+x2=-
4km
1+2k2
x1x2=
2(m2-1)
1+2k2

∴2=|AB|2=(1+k2(x1-x2)2
m2=(1+2k2)-
(1+2k2)2
4(1+k2)

又原點(diǎn)O到AB的距離為
|m|
1+k2

∴S=
1
2
×
2
×
|m|
1+k2

S2=
(2k2+3)(2k2+1)
8(k2+1)2

設(shè)k2+1=t(t≥1),則S2=
4t2 -1
8t2
=
1
2
-
1
8t2

∵t≥1,∴0<
1
t2
≤1

3
8
1
2
-
1
8t2
1
2

6
4
≤S<
2
2

綜合(1)(2)可知,△OAB的面積S的取值范圍是S∈[
6
4
2
2
]
點(diǎn)評:本題以雙曲線的性質(zhì)為載體,考查雙曲線、橢圓的方程,考查三角形的面積,同時(shí)考查分類討論的數(shù)學(xué)思想,有一定的綜合性
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b
a
x
與橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
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lim
n→∞
 
4n-2
n
=( 。

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