【題目】已知函數(shù).
(1)討論函數(shù)的單調(diào)性;
(2)當時,若曲線與曲線存在唯一的公切線,求實數(shù)的值;
(3)當時,不等式恒成立,求實數(shù)的取值范圍.
【答案】(1)見解析(2)(3)
【解析】
(1),分和討論函數(shù)的單調(diào)性;
(2)曲線,曲線,設(shè)該公切線與分別切于點,顯然,利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義和兩點間的斜率公式求得,解得,
問題等價于直線與曲線在時有且只有一個公共點,利用導(dǎo)數(shù)求的值域;
(3)問題等價于不等式,當時恒成立,設(shè),先求,再求,分和兩種情況討論函數(shù)的最小值,判斷是否成立.
解:(1),
當時,恒成立,在上單調(diào)遞減,
當時,由,解得,
由于時,導(dǎo)函數(shù)單調(diào)遞增,
故,單調(diào)遞減,
單調(diào)遞增.
綜上,當時在上單調(diào)遞減;
當時, 在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增. .
(2)曲線與曲線存在唯一公切線,設(shè)該公切線與分別切于點,顯然.
由于,
所以,
,
由于,故,且
因此,
此時,
設(shè)
問題等價于直線與曲線在時有且只有一個公共點,
又,令,解得,
則在上單調(diào)遞增,上單調(diào)遞減,
而,當時,
所以的值域為.
故.
(3)當時,,問題等價于不等式
,當時恒成立.
設(shè),,
又設(shè)
則
而.
(i)當時,即時,
由于,
此時在上單調(diào)遞增.
所以
即,所以在上單調(diào)遞增
所以,
即,
故適合題意.
(ii)當時,,
由于在上單調(diào)遞增,
令,
則,
故在上存在唯一,使,
因此當時,單調(diào)遞減,
所以,
即在上單調(diào)遞減,
故,
亦即,
故時不適合題意,
綜上,所求的取值范圍為.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,我海監(jiān)船在島海域例行維權(quán)巡航,某時刻航行至處,此時測得其北偏東方向與它相距海里的處有一外國船只,且島位于海監(jiān)船正東海里處.
(1)求此時該外國船只與島的距離;
(2)觀測中發(fā)現(xiàn),此外國船只正以每小時海里的速度沿正南方航行.為了將該船攔截在離島海里的處(在的正南方向),不讓其進入島海里內(nèi)的海域,試確定海監(jiān)船的航向,并求其速度的最小值(角度精確到,速度精確到海里/小時).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】西湖小學(xué)為了豐富學(xué)生的課余生活開設(shè)課后少年宮活動,其中面向二年級的學(xué)生共開設(shè)了三門課外活動課:七巧板、健美操、剪紙.203班有包括奔奔、果果在內(nèi)的5位同學(xué)報名參加了少年宮活動,每位同學(xué)只能挑選一門課外活動課,已知每門課都有人選,則奔奔和果果選擇了同一個課外活動課的選課方法種數(shù)為( )
A.18B.36C.72D.144
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=lnx+ax2+ax.
(1)若曲線y=f(x)在點P(1,f(1))處的切線與直線y=4x+1平行,求實數(shù)a的值;
(2)若時,關(guān)于x的方程在(0,2]上恰有兩個不相等的實數(shù)根,求實數(shù)b的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】把方程表示的曲線作為函數(shù)的圖象,則下列結(jié)論正確的有( )
A.的圖象不經(jīng)過第一象限
B.在上單調(diào)遞增
C.的圖象上的點到坐標原點的距離的最小值為
D.函數(shù)不存在零點
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如果一個四面體的三個面是直角三角形,下列三角形:(1)直角三角形;(2)銳角三角形;(3)鈍角三角形;(4)等腰三角形;(5)等腰直角三角形.那么可能成為這個四面體的第四個面是_____.(填上你認為正確的序號)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)的定義域是,且,,當時,.
(1)判斷的奇偶性,并說明理由;
(2)求在區(qū)間上的解析式;
(3)是否存在整數(shù),使得當時,不等式有解?證明你的結(jié)論.
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