Question

1．已知S_n={A|A=（a₁，a₂，a₃，…，a_n），a_i=0或1，i=1，2…，n}（n≥2），對(duì)于U，V∈S_n，d（U，V）表示U，V中相對(duì)應(yīng)位置上的數(shù)不同的個(gè)數(shù)．
（1）若U=（1，1，…，1）則對(duì)于所有V∈S_n，全部d（U，V）之和D=n•2^n-1
（2）對(duì)于所有U，V∈S_n，全部d（U，V）之和D=n•2^2n-1．

Answer 1

分析 （1）由于a_i=0或1，可得S_n中共有2ⁿ個(gè)元素，分別記為v_k（k=1，2，3，…，2ⁿ，v=（b₁，b₂，b₃，…b_n），b_i=0的v_k共有2^n-1個(gè)，b_i=1的v_k共有2^n-1個(gè)．即可得到所求和；
（2）由（1）可得S_n中共有2ⁿ個(gè)元素，且對(duì)于S_n中的每一個(gè)元素，都有全部d（U，V）之和為n•2^n-1，即可得到所求和．

解答 解：（1）由S_n={A|A=（a₁，a₂，a₃，…，a_n），a_i=0或1，i=1，2…，n}（n≥2），
可得S_n中共有2ⁿ個(gè)元素，分別記為v_k（k=1，2，3，…，2ⁿ，v=（b₁，b₂，b₃，…b_n），
∵b_i=0的v_k共有2^n-1個(gè)，b_i=1的v_k共有2^n-1個(gè)．
∴d（U，V）=2^n-1（|0-1|+|1-1|+|0-1|+1-1|+|0-1|+|1-1|+…+|0-1|+|0-1|）=n•2^n-1，
∴d（U，V）=n•2^n-1．
（2）由于U，V∈S_n，S_n中共有2ⁿ個(gè)元素，
由（1）可得對(duì)于S_n中的每一個(gè)元素，都有全部d（U，V）之和為n•2^n-1．
則所求全部d（U，V）之和D=2ⁿ•n•2^n-1=n•2^2n-1．
故答案為：n•2^n-1，n•2^2n-1．

點(diǎn)評(píng) 本題是綜合考查集合推理綜合的應(yīng)用，這道題目的難點(diǎn)主要出現(xiàn)在讀題上，第一個(gè)是關(guān)于S_n的，其實(shí)S_n中的元素就是一個(gè)n維的坐標(biāo)，其中每個(gè)坐標(biāo)值都是0或者1，也可以這樣理解，就是一個(gè)n位數(shù)字的數(shù)組，每個(gè)數(shù)字都只能是0和1，第二個(gè)定義d（U，V），相對(duì)應(yīng)位置上的數(shù)不同的個(gè)數(shù)的理解．