Question

11．若實(shí)數(shù)x，y滿足$\left\{\begin{array}{l}{x+y-2＞0}\\{y-x-1＜0}\\{x≤1}\end{array}\right.$，設(shè)u=x+2y，v=2x+y，則$\frac{u}{v}$的最大值為（　　）

• A． 1
• B． $\frac{5}{4}$
• C． $\frac{7}{5}$
• D． 2

Answer 1

分析 作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，利用分式的性質(zhì)轉(zhuǎn)化為直線斜率，利用數(shù)形結(jié)合進(jìn)行求解即可

解答 解：畫出不等式組$\left\{\begin{array}{l}{x+y-2＞0}\\{y-x-1＜0}\\{x≤1}\end{array}\right.$，所表示的可行域，
如圖所示，

則目標(biāo)函數(shù)$\frac{u}{v}$=$\frac{x+2y}{2x+y}$=$\frac{1+2•\frac{y}{x}}{2+\frac{y}{x}}$，
令t=$\frac{y}{x}$，則t表示可行域內(nèi)點(diǎn)P（x，y）與原點(diǎn)的斜率的取值，
當(dāng)取可行域內(nèi)點(diǎn)A（$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{2}$）時(shí)，t取得最大值，此時(shí)最大值為t=3；
當(dāng)取可行域內(nèi)點(diǎn)B（1，1）時(shí)，t取得最小值，此時(shí)最小值為t=1，
此時(shí)可得，
當(dāng)t=3時(shí)，目標(biāo)函數(shù)$\frac{u}{v}$有最大值，此時(shí)最大值為$\frac{1+2×3}{2+3}$=$\frac{7}{5}$；
故選C．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，根據(jù)分式的性質(zhì)，轉(zhuǎn)化為與斜率有關(guān)的問(wèn)題是解決本題的關(guān)鍵．