【題目】已知二次函數(shù)f(x)=ax2+bx(a,b為常數(shù),且a≠0)滿足條件:f(x﹣1)=f(3﹣x),且方程f(x)=2x有兩等根.
(1)求f(x)的解析式.
(2)求f(x)在[0,t]上的最大值.
【答案】
(1)解:∵方程f(x)=2x有兩等根,ax2+(b﹣2)x=0有兩等根,
∴△=(b﹣2)2=0,解得b=2,
∵f(x﹣1)=f(3﹣x),∴ =1,∴x=1是函數(shù)的對稱軸,
又此函數(shù)圖象的對稱軸是直線x=﹣ ,∴﹣ =1,∴a=﹣1,
故f(x)=﹣x2+2x;
(2)解:∵函數(shù)f(x)=﹣x2+2x對稱軸為x=1,x∈[0,t],
∴當t≤1時,f(x)在[0,t]上是增函數(shù),∴f(x)max=﹣t2+2t,
當t>1時,f(x)在[0,1]上是增函數(shù),在[1,t]上是減函數(shù),∴f(a)max=f(1)=1,
綜上, .
【解析】(1)首先根據(jù)二次函數(shù)f(x)=ax2+bx得對稱軸為x=﹣ ,再根據(jù)f(x﹣1)=f(3﹣x)可得對稱軸為x=1,∴2a+b=0.根據(jù)f(x)=2x有兩等根,可得∴△=(b﹣2)2=0,解得b=2(2)求f(x)在[0,t]上的最大值需要對定義域進行討論:分t<1和t>1兩種情形.
【考點精析】利用二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值對題目進行判斷即可得到答案,需要熟知當時,當時,;當時在上遞減,當時,.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)當時,求在區(qū)間上的最大值和最小值;
(2)若在區(qū)間上, 函數(shù)的圖象恒在直線下方, 求的取值范圍;
(3)設(shè).當時, 若對于任意,存在,使,求實數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在長方體A1B1C1D1﹣ABCD中,AD=CD=4,AD1=5,M是線段B1D1的中點.
(1)求證:BM∥平面D1AC;
(2)求直線DD1與平面D1AC所成角的正弦值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)(, )為奇函數(shù),且相鄰兩對稱軸間的距離為.
(1)當時,求的單調(diào)遞減區(qū)間;
(2)將函數(shù)的圖象沿軸方向向右平移個單位長度,再把橫坐標縮短到原來的(縱坐標不變),得到函數(shù)的圖象.當時,求函數(shù)的值域.
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【題目】將函數(shù)y=sinx的圖象上每個點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼? 倍(縱坐標不變),再將得到的圖象向左平移 個單位長度,所得圖象的函數(shù)解析式為 .
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某倉庫為了保持庫內(nèi)的濕度和溫度,四周墻上均裝有如圖所示的自動通風設(shè)施.該設(shè)施的下部ABCD是矩形,其中AB=2米,BC=0.5米.上部CmD是個半圓,固定點E為CD的中點.△EMN是由電腦控制其形狀變化的三角通風窗(陰影部分均不通風),MN是可以沿設(shè)施邊框上下滑動且始終保持和AB平行的伸縮橫桿(MN和AB、DC不重合).
(1)當MN和AB之間的距離為1米時,求此時三角通風窗EMN的通風面積;
(2)設(shè)MN與AB之間的距離為x米,試將三角通風窗EMN的通風面積S(平方米)表示成關(guān)于x的函數(shù)S=f(x);
(3)當MN與AB之間的距離為多少米時,三角通風窗EMN的通風面積最大?并求出這個最大面積.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】函數(shù)F(x)= t(t﹣4)dt在[﹣1,5]上( )
A.有最大值0,無最小值
B.有最大值0,最小值
C.有最小值 ,無最大值
D.既無最大值也無最小值
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】靖國神社是日本軍國主義的象征.中國人民珍愛和平,所以要堅決反對日本軍國主義. 2013年12月26日日本首相安倍晉三悍然參拜靖國神社,此舉在世界各國激起輿論的批評.某報的環(huán)球輿情調(diào)查中心對中國大陸七個代表性城市的1000個普通民眾展開民意調(diào)查. 某城市調(diào)查體統(tǒng)計結(jié)果如下表:
性別 中國政府是否 需要在釣魚島和其他爭議 問題上持續(xù)對日強硬 | 男 | 女 |
需要 | 50 | 250 |
不需要 | 100 | 150 |
(1) 試估計這七個代表性城市的普通民眾中,認為 “中國政府需要在釣魚島和其他爭議問題上持續(xù)對日強硬” 的民眾所占比例;
(2) 能否有以上的把握認為這七個代表性城市的普通民眾的民意與性別有關(guān)?
(3) 從被調(diào)查認為“中國政府需要在釣魚島和其他爭議問題上持續(xù)對日強硬” 的民眾中,采用分層抽樣的方式抽取6人做進一步的問卷調(diào)查,然后在這6人中用簡單隨機抽樣方法抽取2人進行電視專訪,記被抽到的2人中女性的人數(shù)為,求的分布列.
附:
0.050 | 0.010 | 0.001 | |
3.841 | 6.635 | 10.828 |
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