Question

17．已知數列{a_n}是遞增的等比數列，前n項和為S_n，已知a₃=8，S₃=14．
（Ⅰ）求數列{a_n}的通項公式；
（II）若數列{b_n}，滿足a_nb_n=log₂a_n，求{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （I）利用等比數列的通項公式與求和公式即可得出．
（II）a_nb_n=log₂a_n，可得b_n=$\frac{n}{{2}^{n}}$．利用“錯位相減法”與等比數列的求和公式即可得出．

解答 解：（I）設等比數列{a_n}的公比為q，∵a₃=8，S₃=14．
∴${a}_{1}{q}^{2}$=8，a₁（1+q+q²）=14，
解得a₁=2，q=2．
∴${a_n}={2^n}$；
（II）∵a_nb_n=log₂a_n，
∴b_n=$\frac{n}{{2}^{n}}$．
∴{b_n}的前n項和T_n=$\frac{1}{2}+\frac{2}{{2}^{2}}$+$\frac{3}{{2}^{3}}$+…+$\frac{n}{{2}^{n}}$，
∴$\frac{1}{2}{T}_{n}$=$\frac{1}{{2}^{2}}+\frac{2}{{2}^{3}}$+…+$\frac{n-1}{{2}^{n}}$+$\frac{n}{{2}^{n+1}}$，
∴$\frac{1}{2}$T_n=$\frac{1}{2}+\frac{1}{{2}^{2}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n}}$-$\frac{n}{{2}^{n+1}}$=$\frac{\frac{1}{2}（1-\frac{1}{{2}^{n}}）}{1-\frac{1}{2}}$-$\frac{n}{{2}^{n+1}}$，
∴${T_n}=2-\frac{1}{{{2^{n-1}}}}-\frac{n}{2^n}$．

點評 本題考查了“錯位相減法”、等比數列的通項公式與求和公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．