Question

已知函數(shù)f（x）=2sinx（sinx+cosx）．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）求出函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[-

π

2

，

π

2

]上的單調(diào)遞減區(qū)間．

Answer 1

考點：二倍角的余弦,復(fù)合三角函數(shù)的單調(diào)性

專題：三角函數(shù)的求值

分析：（1）f（x）解析式利用二倍角的正弦、余弦函數(shù)公式化簡，再利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化為一個角的正弦函數(shù)，找出ω的值，代入周期公式即可求出最小正周期；
（2）由x的范圍確定出2x-

π

4

的范圍，利用正弦函數(shù)的單調(diào)性求出f（x）在區(qū)間[-

π

2

，

π

2

]上的單調(diào)遞減區(qū)間即可．

解答： 解  （1）f（x）=2sin²x+2sinxcosx=2×

1-cos2x

2

+sin2x=1+sin2x-cos2x=1+

2

sin（2x-

π

4

），
∵ω=2，∴T=

2π

2

=π，
則f（x）的最小正周期為π；
（2）∵x∈[-

π

2

，

π

2

]，
∴2x-

π

4

∈[-

5π

4

，

3π

4

]，
令-

5π

4

≤2x-

π

4

≤-

π

2

或

π

2

≤2x-

π

4

≤

3π

4

，
解得：-

π

2

≤x≤-

π

8

或

3π

8

≤x≤

π

2

，
則函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[-

π

2

，

π

2

]上的單調(diào)遞減區(qū)間為[-

π

2

，-

π

8

]∪[

3π

8

，

π

2

]．

點評：此題考查了二倍角的正弦函數(shù)公式，兩角和與差的正弦函數(shù)公式，以及正弦函數(shù)的單調(diào)性，熟練掌握公式是解本題的關(guān)鍵．