Question

已知橢圓的方程為，雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為的左、右頂點(diǎn)，而的左、右頂點(diǎn)分別是的左、右焦點(diǎn)。

（1）求雙曲線的方程；

（2）若直線與橢圓及雙曲線都恒有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，且L與的兩個(gè)焦點(diǎn)A和B滿足（其中O為原點(diǎn)），求的取值范圍。

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）

【解析】

試題分析：（1）有橢圓方程中讀出其長(zhǎng)軸長(zhǎng)，焦距長(zhǎng)，根據(jù)題意得出雙曲線的長(zhǎng)軸長(zhǎng)，和焦距長(zhǎng)，即可求出雙曲線方程。（2）因?yàn)橹本�l與兩曲線均有兩個(gè)不同交點(diǎn)，故聯(lián)立方程后整理出的一元二次方程均有兩根，即判別式均大于0，再根據(jù)向量數(shù)量積公式列出關(guān)于K 的不等式，三個(gè)不等式取交集。

試題解析：（1）設(shè)雙曲線的方程為，由橢圓的方程知，其長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4，焦距長(zhǎng)為，則由題意知雙曲線中，，所以，故的方程為。

（2）將代入，整理得，由直線與橢圓恒有兩個(gè)不同的交點(diǎn)得即，

將代入，整理得，由直線與雙曲線恒有兩個(gè)不同的交點(diǎn)得，解得。

解此不等式得

        ③

由①、②、③得

故k的取值范圍為

考點(diǎn)：圓錐曲線方程基礎(chǔ)知識(shí)，直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，向量數(shù)量積公式