Question

1．設(shè)O、F分別是拋物線y²=2x的頂點和焦點，M是拋物線上的動點，則$\frac{|MO|}{|MF|}$的最大值為$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．．

Answer 1

分析 設(shè)M（m，n）到拋物線y²=2x的準線x=-$\frac{1}{2}$的距離等于d，由拋物線的定義可得$\frac{|MO|}{|MF|}$=$\frac{\sqrt{{m}^{2}+{n}^{2}}}{m+\frac{1}{2}}$=$\sqrt{1+\frac{m-\frac{1}{4}}{{m}^{2}+m+\frac{1}{4}}}$，令m-$\frac{1}{4}$=t，利用基本不等式可求得最大值．

解答 解：焦點F（$\frac{1}{2}$，0），設(shè)M（m，n），則n²=2m，m＞0，設(shè)M到準線x=-$\frac{1}{2}$的距離等于d，
則由拋物線的定義得$\frac{|MO|}{|MF|}$=$\frac{\sqrt{{m}^{2}+{n}^{2}}}{m+\frac{1}{2}}$=$\sqrt{1+\frac{m-\frac{1}{4}}{{m}^{2}+m+\frac{1}{4}}}$，
令m-$\frac{1}{4}$=t，
依題意知，m＞0，
若t＞0，
則$\frac{m-\frac{1}{4}}{{m}^{2}+m+\frac{1}{4}}$=$\frac{t}{{t}^{2}+\frac{3}{2}t+\frac{9}{16}}$=$\frac{1}{t+\frac{\frac{9}{16}}{t}+\frac{3}{2}}$≤$\frac{1}{3}$，
∴t_max=$\frac{1}{3}$，此時（$\frac{|MO|}{|MF|}$）_max=$\sqrt{1+\frac{1}{3}}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$；
若-$\frac{1}{4}$＜t＜0，y=t+$\frac{\frac{9}{16}}{t}$+$\frac{3}{2}$單調(diào)遞減，故y＜-1，$\frac{1}{y}$∈（-1，0）；
綜上所述，（$\frac{|MO|}{|MF|}$）_max=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
故答案為：$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

點評 本題考查拋物線的定義、簡單性質(zhì)，基本不等式的應(yīng)用，體現(xiàn)了換元的思想，屬于難題．