Question

1．已知$f（x）=x+\frac{x}-3$，x∈[1，2]
（1）若b=1時，求f（x）的值域；
（2）若b≥2時，f（x）的最大值為M，最小值為m，且滿足：M-m≥4，求b的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)b=1，f（x）=x+$\frac{1}{x}$-3，然后根據(jù)函數(shù)f（x）在[1，2]上的單調(diào)性，求出f（x）的最值，從而求出函數(shù)f（x）的值域；
（2）分類討論①當(dāng)0＜b＜2時，②2≤b＜4時，③b≥4時，由函數(shù)f（x）在[1，2]上單調(diào)上的單調(diào)性，求出f（x）的最大值為M，最小值為m，最后根據(jù)M-m≥4，求出b的取值范圍．

解答 解：（1）當(dāng)b=1時，f（x）=x+$\frac{1}{x}$-3，x∈[1，2]，
求導(dǎo)f′（x）=1-$\frac{1}{{x}^{2}}$=$\frac{{x}^{2}-1}{{x}^{2}}$，令f′（x）=0，解得：x=±1，
當(dāng)x∈[1，2]，f′（x）＞0，
∴f（x）在[1，2]上單調(diào)遞增，
∴f（x）的最小值為f（1）=-1，
當(dāng)x=2時，f（x）取最大值，最大值為f（2）=-$\frac{1}{2}$，
∴f（x）的值域[-1，-$\frac{1}{2}$]；
（2）①當(dāng)0＜b＜2時，f（x）在[1，2]上單調(diào)遞增，
則m=b-2，M=$\frac{2}$-1，此時M-m=-$\frac{2}$+1≥4，解得：b≤-6，
與0＜b＜2矛盾，
②當(dāng)2≤b＜4時，由（x）在[1，$\sqrt$]上單調(diào)遞減，在[$\sqrt$，2]上單調(diào)遞增．
∴M=max{f（1），f（2）}=b-2，m=f（$\sqrt$）=2$\sqrt$-3，
M-m=b-2$\sqrt$+1≥4，得（$\sqrt$-1）2≥4，
即b≥9，與2≤b＜4矛盾．
③b≥4時，f（x）在[1，2]上單調(diào)遞減．
M=b-2，m=$\frac{2}$-1，M-m=$\frac{2}$-1≥4，解得：b≥10，
綜上可知：b≥10．

點評 本題考查函數(shù)的單調(diào)性與最值的意義，考查函數(shù)單調(diào)性與最值的應(yīng)用，考查分類討論思想，屬于中檔題．