Question

【題目】已知函數(shù)，其中，為參數(shù)，且.

（Ⅰ）當(dāng)時，判斷函數(shù)是否有極值.

（Ⅱ）要使函數(shù)的極小值大于零，求參數(shù)的取值范圍.

（Ⅲ）若對（Ⅱ）中所求的取值范圍內(nèi)的任意參數(shù)，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)都是增函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）無極值.

（Ⅱ）.

（Ⅲ）.

【解析】試題分析：（Ⅰ）當(dāng)時，，得到，所以無極值.

（Ⅱ）由，得，，由（Ⅰ），只需分當(dāng)和兩情況討論，即可得到使函數(shù)在內(nèi)的極小值大于零，參數(shù)的取值范圍.

（Ⅲ）由題設(shè)，函數(shù)在內(nèi)是增函數(shù)，且由（Ⅱ）參數(shù)時要使恒成立，列出不等式，即可求解實數(shù)的取值范圍.

試題解析：

（Ⅰ）當(dāng)時，，，所以，所以無極值.

（Ⅱ）因為，

設(shè)，得，

由（Ⅰ），只需分下面兩情況討論：

①當(dāng)時

當(dāng)時，，單調(diào)遞增；

當(dāng)時，，單調(diào)遞減；

當(dāng)時，，單調(diào)遞增.

所以當(dāng)時，取得極小值，

極小值，

要使則有，

所以，

因為，故或；

②當(dāng)時，

當(dāng)時，，單調(diào)遞增；

當(dāng)時，，單調(diào)遞減；

當(dāng)時，，單調(diào)遞增；

所以當(dāng)時，取得極小值.

極小值

若，則，矛盾.

所以當(dāng)時，的極小值不會大于零.

綜上所述，要使函數(shù)在內(nèi)的極小值大于零，參數(shù)的取值范圍是：

.

（Ⅲ）由（Ⅱ）知，函數(shù)在區(qū)間與內(nèi)都是增函數(shù)，由題設(shè)，函數(shù)在內(nèi)是增函數(shù)，則或

由（Ⅱ）參數(shù)時要使恒成立，必有

即且

綜上：或.

所以的取值范圍是.