Question

已知橢圓E：（a＞b＞0）的左焦點為F，右頂點為A，離心率e=．
（I）若點F在直線l：x-y+1=0上，求橢圓E的方程；
（II）若0＜a＜1，試探究橢圓E上是否存在點P，使得？若存在，求出點P的個數；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（Ⅰ）∵F（-c，0）在直線l：x-y+1=0上，
∴-c+1=0，即c=1，
又，∴a=2c=2，
∴b=．
從而橢圓E的方程為．
（Ⅱ）由，得，
∴，
橢圓E的方程為，其左焦點為，右頂點為A（a，0），
假設橢圓E上存在點P（x₀，y₀）（-a≤x₀≤a），使得，
∵點P（x₀，y₀）在橢圓上，∴，
由
=
=
==1．
解得：x₀=a±2，
∵0＜a＜1，∴
x₀=a±2∉[-a，a]，
故不存在點P，使得．
分析：（Ⅰ）橢圓的左焦點F在直線l：x-y+1=0上，把F的坐標代入直線方程可求c的值，與離心率e=聯(lián)立后可求a的值，則橢圓E的方程可求；
（Ⅱ）假設橢圓E上存在點P，使得，設出P點坐標，求出向量和，代入后求出點P的橫坐標，由題目給出的a的范圍推出點P橫坐標不在[-a，a]內，從而得出矛盾，假設錯誤．
點評：本題考查了直線與圓錐曲線的關系，考查了橢圓的標準方程，訓練了存在性問題的處理方法，對于存在性問題，解決的思路是假設結論成立，把假設作為已知條件進行推理，得出正確的等式關系則假設成立，肯定結論，否則假設不成立，否定結論．此題是中檔題．