Question

某種產(chǎn)品的年銷售量y和該年廣告費(fèi)用支出x有關(guān)，現(xiàn)收集了5組觀測數(shù)據(jù)列于下表：

x/萬元	2	4	5	6	8	參考數(shù)據(jù)： 5 i=1 x 2 i =145， 5 i=1 y 2 i =13500， 5 i=1 xiyi=1380
y/萬件	30	40	60	50	70

現(xiàn)確定以廣告費(fèi)用支出x為解釋變量，銷售量y為預(yù)報(bào)變量對(duì)這兩個(gè)變量進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析．
參考公式：

?

b

=

n i=1 (xi- . x )(yi- . y )

n i=1 (xi- . x )2

=

n i=1 xiyi-n . x . y

n i=1 x 2 i -n . x 2

，

?

a

=

.

y

-

?

b

.

x

，R2=1-

n i=1 (yi- ? y i)2

n i=1 (yi- . y )2

.

x

=

1

n

n

i=1

xi，

.

y

=

1

n

n

i=1

yi
（Ⅰ）作y和x的散點(diǎn)圖，根據(jù)該圖猜想它們之間是什么相關(guān)關(guān)系．
（Ⅱ）如果是線性相關(guān)關(guān)系，請(qǐng)用給出的最小二乘法公式求回歸直線方程；否則說明它們之間更趨近于什么非線性相關(guān)關(guān)系．
（Ⅲ）假如2011年廣告費(fèi)用支出為10萬元，請(qǐng)根據(jù)你得到的模型，預(yù)報(bào)該年的銷售量y，并用R²的值說明解釋變量對(duì)于預(yù)報(bào)變量變化的貢獻(xiàn)率．

Answer 1

分析：（I）根據(jù)所給的對(duì)應(yīng)的數(shù)據(jù)，寫出對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)，在坐標(biāo)系中找出點(diǎn)的位置，畫出散點(diǎn)圖，根據(jù)散點(diǎn)圖可知，它們成線性正相關(guān)關(guān)系．
（II）分別做出x，y的平均數(shù)，利用最小二乘法求出方程的系數(shù)b，再根據(jù)樣本中心點(diǎn)在直線上做出a，寫出線性回歸方程．
（III）根據(jù)所求的線性回歸方程，代入x=10，預(yù)報(bào)出對(duì)應(yīng)的y的值，做出R²的值，解釋變量對(duì)于預(yù)報(bào)變量變化的貢獻(xiàn)率．

解答：解：（Ⅰ）散點(diǎn)圖

根據(jù)散點(diǎn)圖可知，它們成線性正相關(guān)關(guān)系
（Ⅱ）由數(shù)據(jù)表知

.

x

=

1

5

(2+4+5+6+8)=5，

.

y

=

1

5

(30+40+60+50+70)=50
有公式得：

?

b

=

5 i=1 xiyi-5 . x . y

5 i=1 x 2 i -5 . x 2

=

1380-5×5×50

145-5×52

=6.5，

?

a

=

.

y

-b

.

x

=50-6.5×5=17.5
因此，回歸直線方程為

?

y

=6.5x+17.5
（Ⅲ）當(dāng)x=10時(shí)，y=6.5×10+17.5=82.5（萬元）
因此，預(yù)報(bào)該年的銷量大約為82.5萬件．
R2=1-

(-0.5)2+3.52+102+(-6.5)2+0.52

202+102+102+02+202

=0.84473≈0.84
因此，回歸效果較好，廣告費(fèi)用支出能解釋84%的銷售量的變化．

點(diǎn)評(píng)：本題考查做出散點(diǎn)圖，考查線性回歸方程的求法，考查最小二乘法的應(yīng)用，考查預(yù)報(bào)對(duì)應(yīng)的y的結(jié)果，考查利用R²的值說明解釋變量對(duì)于預(yù)報(bào)變量變化的貢獻(xiàn)率，本題是一個(gè)綜合題目．