Question

15．已知數(shù)列{a_n}中，a₁＜0，a_n+1=$\frac{a_n}{{3{a_n}+1}}（n∈{N^*}）$，數(shù)列{b_n}滿足：b_n=na_n（n∈N^*），設(shè)S_n為數(shù)列{b_n}的前n項和，當(dāng)n=7時S_n有最小值，則a₁的取值范圍是$（{-\frac{1}{18}，-\frac{1}{21}}）$ ．

Answer 1

分析 數(shù)列{a_n}中，a₁＜0，a_n+1=$\frac{a_n}{{3{a_n}+1}}（n∈{N^*}）$，區(qū)倒數(shù)可得：$\frac{1}{{a}_{n+1}}$-$\frac{1}{{a}_{n}}$=3，利用等差數(shù)列的通項公式可得：a_n=$\frac{{a}_{1}}{1+3{（n-1）a}_{1}}$．b_n=na_n=$\frac{n{a}_{1}}{1+3（n-1）{a}_{1}}$，設(shè)S_n為數(shù)列{b_n}的前n項和，當(dāng)n=7時S_n有最小值，可得b₇＞0，b₈＜0．解出即可得出．

解答 解：數(shù)列{a_n}中，a₁＜0，a_n+1=$\frac{a_n}{{3{a_n}+1}}（n∈{N^*}）$，
∴$\frac{1}{{a}_{n+1}}$-$\frac{1}{{a}_{n}}$=3，
∴數(shù)列$\{\frac{1}{{a}_{n}}\}$是等差數(shù)列，公差為3．
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{{a}_{1}}$+3（n-1）．
解得a_n=$\frac{{a}_{1}}{1+3{（n-1）a}_{1}}$．
∴b_n=na_n=$\frac{n{a}_{1}}{1+3（n-1）{a}_{1}}$，
設(shè)S_n為數(shù)列{b_n}的前n項和，當(dāng)n=7時S_n有最小值，∴b₇＞0，b₈＜0．
∴$\frac{7{a}_{1}}{1+18{a}_{1}}$＞0，$\frac{8{a}_{1}}{1+21{a}_{1}}$＜0，
解得$-\frac{1}{18}＜{a}_{1}＜-\frac{1}{21}$．
則a₁的取值范圍是：$（{-\frac{1}{18}，-\frac{1}{21}}）$．
故答案為：$（{-\frac{1}{18}，-\frac{1}{21}}）$．

點評 本題考查了數(shù)列遞推關(guān)系、等差數(shù)列的通項公式、數(shù)列的單調(diào)性，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．