Question

已知函數(shù)f（x）=ax²+bx-a-ab（a≠0），當(dāng)x∈（-1，3）時，f（x）＞0；當(dāng)x∈（-∞，-1）∪（3，+∞）時，f（x）＜0．
（1）求f（x）在（-1，2）內(nèi)的值域；
（2）若方程f（x）=c在[0，3]有兩個不等實根，求c的取值范圍．

Answer 1

考點：二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值,函數(shù)的值域,函數(shù)的零點與方程根的關(guān)系

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）由題意，-1，3是方程ax²+bx-a-ab=0的兩根，求得得a和b的值，可得二次函數(shù)f（x）的解析式，從而求得f（x） 在（-1，2）內(nèi)的值域．
（2）由題意可得x²-2x+c-3=0，在[0，3]有兩個不等實根，設(shè)g（x）=x²-2x+c-3，則

g(1)＜0 g(0)≥0 g(3)≥0

，由此解得c的范圍．

解答： 解：（1）由題意，-1，3是方程ax²+bx-a-ab=0的兩根，可得a=-1，b=2，
則f（x）=-x²+2x+3=-（x-1）²+4 在（-1，2）內(nèi)的值域為（0，4]．
（2）方程-x²+2x+3=c，即x²-2x+c-3=0，在[0，3]有兩個不等實根，
設(shè)g（x）=x²-2x+c-3，則

g(1)＜0 g(0)≥0 g(3)≥0

，解得3≤c＜4．

點評：本題主要考查求二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，二次函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬基礎(chǔ)題．