Question

（2013•海淀區(qū)二模）如圖1，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC=90°，BA=BC 把△BAC沿AC折起到△PAC的位置，使得點(diǎn)P在平面ADC上的正投影O恰好落在線段AC上，如圖2所示，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為線段PC，CD的中點(diǎn)．
（I） 求證：平面OEF∥平面APD；
（II）求直線CD⊥與平面POF
（III）在棱PC上是否存在一點(diǎn)M，使得M到點(diǎn)P，O，C，F(xiàn)四點(diǎn)的距離相等？請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用面面垂直的性質(zhì)定理可得PO⊥平面ABC，再利用等腰三角形的性質(zhì)可得O是AC的 中點(diǎn)，利用三角形的中位線定理即可得出OE∥PA，OF∥AD，再利用面面平行的判定定理即可證明；
（Ⅱ）線線平行的性質(zhì)可得OF⊥CD，利用線面垂直的性質(zhì)定理可得PO⊥CD，再利用線面垂直的判定定理即可證明；
（Ⅲ）利用線面垂直的性質(zhì)定理可得CD⊥PF，再利用直角三角形的斜邊上中線的性質(zhì)即可證明．

解答：解：（I）∵點(diǎn)P在平面ADC上的正投影O恰好落在線段AC上，
∴PO⊥平面ABC，
∴PO⊥AC．
∵AB=BC，
∴O是AC的 中點(diǎn)，
∴OE∥PA．
同理OF∥AD．
又OE∩OF=O，PA∩AD=A，
∴平面OEF∥平面PDA．
（II）∵OF∥AD，AD⊥CD，
∴OF⊥CD，
又PO⊥平面ADC，CD?平面ADC，
∴PO⊥CD，
又OF∩PO=O，
∴CD⊥平面POF．
（III）存在，事實(shí)上記點(diǎn)E為M即可，
∵CD⊥平面POF，PF?平面POF，
∴CD⊥PF，
又M為PC中點(diǎn)，∴EF=

1

2

PC，
同理，在直角三角形POC中，EP=EC=OE=

1

2

PC，
∴點(diǎn)E到四個(gè)點(diǎn)P，O，C，F(xiàn)的距離相等．

點(diǎn)評(píng)：熟練掌握面面垂直的性質(zhì)定理、等腰三角形的性質(zhì)、三角形的中位線定理、面面平行的判定定理、線線平行的性質(zhì)、線面垂直的判定與性質(zhì)定理、直角三角形的斜邊上中線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵..